Исходя из пропорций производства, чтобы произвести x единиц товара X и y товара Y необходимо закупить \alpha=x+2y и \beta=2x+y едениц альфа и бета соответственно, тогда целевая функция прибыли представима зависимостью:

\Pi(x, y) = TR_x(x) + TR_y(P_y, y) - TC_\alpha(\alpha(x, y)) - TC_\beta(\beta(x, y))

\Pi(x, y) = P_x(x) x + P_y \cdot y - P_\alpha(\alpha(x, y)) \cdot \alpha(x, y) - P_\beta(\beta(x, y)) \cdot \beta(x, y)

\Pi(x, y) = (100 - x) x + P_y \cdot y - (x + 2y)^2 - (2x + y)^2 \rightarrow \max_{x, y \geq 0}

Максимизируем П(x, y) по переменной y при фиксированном x :

\Pi'_y = P_y - 4(x + 2y) - 2(2x + y) = 0 (достаточное условие: \forall y \geq 0 : \Pi''_{yy} = -10 < 0 )

откуда находим оптимальное значение y^* для различных пар (x, P_y) :

y^* = \begin{cases} \frac{P_y - 8x}{10}, & x \leq \frac{P_y}{8} \\ 0, & x > \frac{P_y}{8} \end{cases}

\Pi(x, y^*(x)) = (100 - x)x + P_y \cdot \left(\frac{P_y - 8x}{10}\right) - \left(x + \frac{P_y - 8x}{10}\right)^2 - \left(2x + \frac{P_y - 8x}{10}\right)^2 \rightarrow \max_{x \geq 0}

\left[\Pi(x, y^*(x))\right]'_x = 100 - 2x - \frac{8P_y}{10} + 1.2\left(x + \frac{P_y - 8x}{5}\right) - 2.4\left(2x + \frac{P_y - 8x}{10}\right) = 0

достаточное условие : \forall y \geq 0 : \left[\Pi(x, y^*(x))\right]''_{xx} = -5.28 < 0

С учетом не отрицательности переменных и y^* :

x^*(P_y) = \begin{cases} \tilde{x}\rvert_{y=0}, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{125 - P_y}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ 0, & P_y > 125 \end{cases}

поиск x : \Pi(x)\rvert_{y=0} = (100 - x)x - 5x^2 \rightarrow \max_{x \geq 0}

\left[\Pi(x)\right]'_x = 100 - 2x - 10x = 0 \Rightarrow \tilde{x} = 8\frac{1}{3}

достаточное условие \forall x \geq 0 : \Pi(x, y = 0)''_x = -10 < 0

А значит

x^*(P_y) = \begin{cases} 8\frac{1}{3}, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{125 - P_y}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ 0, & P_y > 125 \end{cases}

y^*(P_y) = \begin{cases} 0, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{3}{14}P_y - \frac{100}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ \frac{P_y}{10}, & P_y > 125 \end{cases}

Откуда с учетом предложения конкурентного окружения Y_s=P_y находим отраслевое предложение на рынке товара Y :

Y_s^{\text{otp}}(P_y) = \begin{cases} P_y, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{17}{14}P_y - \frac{100}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ \frac{11}{10}P_y, & P_y > 125 \end{cases}

Поиск равновесия на рынке товара Y: Y_s^{\text{otp}}(P_y) = Y_d(P_y) \Rightarrow Y^e = P_y^e = 50.

Используя найденные значения, находим параметры равновесия производителя относительно рынка товара X : (x^e, P_x^e) = \left(8\frac{1}{3}, 91\frac{2}{3}\right).

Ответ:

\left(Y^e, y^e, P_y^e, x^e, P_x^e\right) = \left(50, 0, 50, 8\frac{1}{3}, 91\frac{2}{3}\right), где y^e - равновесный выпуск игрека фирмой "Абсервант".