Абсервант
Рассмотрим рынки товаров X и Y, спрос на каждом из которых описывается функциями X_d=100-P_x и Y_x=100-P_y. Фирма "Абсервант" является монополистом на рынке товара X и совершенным конкурентом на рынке Y, где конкурентное окружение имеет суммарную функцию предложения Y_s=P_y.
Известно, что для производства X и Y необходимы ресурсы альфа и бета. Так, для производства одной единицы икса необходима 1 единица альфы и 2 единицы беты, а для производства одного игрека 2 единицы альфы и одна единица беты.
"Абсервант" закупает необходимые ресурсы на монопсонистическом рынке факторов производства, функции предложения на каждом из которых описываются уравнениями P_\alpha^{\text{suply}}=\alpha и P_\beta^{\text{suply}}=\beta.
Определите параметры рыночного равновесия на двух рынках готовой продукции.
Исходя из пропорций производства, чтобы произвести x единиц товара X и y товара Y необходимо закупить \alpha=x+2y и \beta=2x+y едениц альфа и бета соответственно, тогда целевая функция прибыли представима зависимостью:
\Pi(x, y) = TR_x(x) + TR_y(P_y, y) - TC_\alpha(\alpha(x, y)) - TC_\beta(\beta(x, y))
\Pi(x, y) = P_x(x) x + P_y \cdot y - P_\alpha(\alpha(x, y)) \cdot \alpha(x, y) - P_\beta(\beta(x, y)) \cdot \beta(x, y)
\Pi(x, y) = (100 - x) x + P_y \cdot y - (x + 2y)^2 - (2x + y)^2 \rightarrow \max_{x, y \geq 0}
Максимизируем П(x, y) по переменной y при фиксированном x :
\Pi'_y = P_y - 4(x + 2y) - 2(2x + y) = 0 (достаточное условие: \forall y \geq 0 : \Pi''_{yy} = -10 < 0 )
откуда находим оптимальное значение y^* для различных пар (x, P_y) :
y^* = \begin{cases} \frac{P_y - 8x}{10}, & x \leq \frac{P_y}{8} \\ 0, & x > \frac{P_y}{8} \end{cases}
\Pi(x, y^*(x)) = (100 - x)x + P_y \cdot \left(\frac{P_y - 8x}{10}\right) - \left(x + \frac{P_y - 8x}{10}\right)^2 - \left(2x + \frac{P_y - 8x}{10}\right)^2 \rightarrow \max_{x \geq 0}
\left[\Pi(x, y^*(x))\right]'_x = 100 - 2x - \frac{8P_y}{10} + 1.2\left(x + \frac{P_y - 8x}{5}\right) - 2.4\left(2x + \frac{P_y - 8x}{10}\right) = 0
достаточное условие : \forall y \geq 0 : \left[\Pi(x, y^*(x))\right]''_{xx} = -5.28 < 0
С учетом не отрицательности переменных и y^* :
x^*(P_y) = \begin{cases} \tilde{x}\rvert_{y=0}, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{125 - P_y}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ 0, & P_y > 125 \end{cases}
поиск x : \Pi(x)\rvert_{y=0} = (100 - x)x - 5x^2 \rightarrow \max_{x \geq 0}
\left[\Pi(x)\right]'_x = 100 - 2x - 10x = 0 \Rightarrow \tilde{x} = 8\frac{1}{3}
достаточное условие \forall x \geq 0 : \Pi(x, y = 0)''_x = -10 < 0
А значит
x^*(P_y) = \begin{cases} 8\frac{1}{3}, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{125 - P_y}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ 0, & P_y > 125 \end{cases}
y^*(P_y) = \begin{cases} 0, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{3}{14}P_y - \frac{100}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ \frac{P_y}{10}, & P_y > 125 \end{cases}
Откуда с учетом предложения конкурентного окружения Y_s=P_y находим отраслевое предложение на рынке товара Y :
Y_s^{\text{otp}}(P_y) = \begin{cases} P_y, & 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\ \frac{17}{14}P_y - \frac{100}{7}, & 66\frac{2}{3} \leq P_y \leq 125 \\ \frac{11}{10}P_y, & P_y > 125 \end{cases}
Поиск равновесия на рынке товара Y: Y_s^{\text{otp}}(P_y) = Y_d(P_y) \Rightarrow Y^e = P_y^e = 50.
Используя найденные значения, находим параметры равновесия производителя относительно рынка товара X : (x^e, P_x^e) = \left(8\frac{1}{3}, 91\frac{2}{3}\right).
Ответ:
\left(Y^e, y^e, P_y^e, x^e, P_x^e\right) = \left(50, 0, 50, 8\frac{1}{3}, 91\frac{2}{3}\right), где y^e - равновесный выпуск игрека фирмой "Абсервант".