Задача 1 ОЧ-2016 (9 класс)
В некотором государстве есть Промзона, а также есть морской Порт, куда каждый день ездят тысяч машин. Так сложилась жизнь, что из Промзоны в Порт можно попасть, если ехать либо через город Альфа, либо через город Бета. В зависимости от того, сколько машин едет по участку дороги (в этот день), время движения по ней составит минут, где – загруженность дороги (в тыс. машин).
-
Считая, что каждый водитель знает о текущей дорожной обстановке, и предполагая, что он минимизирует время на проезд, определите равновесное время в пути.
-
Правительство решает улучшить дорожную ситуацию. Для этого оно строит дорогу (одностороннюю) из города Бета в город Альфа. Время движения по этой дороге составляет . Определите, какое время необходимо будет затратить теперь для того, чтобы попасть из Промзоны в Порт. Дайте объяснение полученному ответу.
-
Предложите возможные способы для улучшения ситуации, полученной в предыдущем пункте.
Ответ
- Есть два пути: через Альфу и через Бету. Водители минимизируют время в пути, следовательно, в равновесии время в пути по каждой из дорог будет одинаковым. (Иначе кто-то бы с более долгой дороги перешел на более быструю). Заметим, что наши пути эквивалентны. Поэтому по каждой дороге поедет ровно половина машин, то есть . Время в пути составит минуты.
Ответ: минуты.
- Аналогично предыдущему пункту, время в пути по каждому из маршрутов в равновесии будет одинаковым.
Теперь рассмотрим три маршрута:
Промзона-Альфа-Порт ( й маршрут)
Промзона-Бета-Порт ( й маршрут)
Промзона-Альфа-Бета-Порт ( й маршрут)
Пусть едет по -му, едет по -му, едет по -му маршруту. Тогда получим систему уравнений:
Откуда . Тогда время в пути (по каждому из маршрутов) составит минуты, т.е. время в пути увеличилось.
Объяснение: новый маршрут позволяет миновать более загруженный участок с пропускной способностью . Но, с другой стороны, он создает нагрузку на участки c.
Получается, что новый участок увеличивает загрузку на существовавшие участки дороги, что приводит к замедлению движения.
3. Возможные варианты:
a) Закрыть новый участок дороги и вернуться к исходной ситуации.
b) Ввести квоту на проезд. Т.е., например, пускать только по машин в день. (По очереди, каждый может пользоваться дорогой только один раз в дней). Тогда все остальные машины распределятся равномерно по первоначальным участкам. Время в пути по первоначальному участку:
В то же время, время в пути по привилегированному участку составит
То есть, пользуясь дорогой один раз в дней, человек будет экономить почти минут. В то же время, в обычный день он тратит на минуты больше, чем обычно.
c) Ввести тариф за пользование дороги (по сути квотирование, аналогично предыдущему пункту).