Задача 1 ОЧ-2016 (9 класс)
В некотором государстве есть Промзона, а также есть морской Порт, куда каждый день ездят 6 тысяч машин. Так сложилась жизнь, что из Промзоны в Порт можно попасть, если ехать либо через город Альфа, либо через город Бета. В зависимости от того, сколько машин едет по участку дороги (в этот день), время движения по ней составит T(c) минут, где c – загруженность дороги (в тыс. машин).
1. Считая, что каждый водитель знает о текущей дорожной обстановке, и предполагая, что он минимизирует время на проезд, определите равновесное время в пути.
2. Правительство решает улучшить дорожную ситуацию. Для этого оно строит дорогу (одностороннюю) из города Бета в город Альфа. Время движения по этой дороге составляет T(c)=c+10. Определите, какое время необходимо будет затратить теперь для того, чтобы попасть из Промзоны в Порт. Дайте объяснение полученному ответу.
3. Предложите возможные способы для улучшения ситуации, полученной в предыдущем пункте.
1. Есть два пути: через Альфу и через Бету. Водители минимизируют время в пути, следовательно, в равновесии время в пути по каждой из дорог будет одинаковым. (Иначе кто-то бы с более долгой дороги перешел на более быструю). Заметим, что наши пути эквивалентны. Поэтому по каждой дороге поедет ровно половина машин, то есть 3000. Время в пути составит 83 минуты.
Ответ: 83 минуты.
2. Аналогично предыдущему пункту, время в пути по каждому из маршрутов в равновесии будет одинаковым.
Теперь рассмотрим три маршрута:
Промзона-Альфа-Порт ( 1 й маршрут)
Промзона-Бета-Порт ( 2 й маршрут)
Промзона-Альфа-Бета-Порт ( 3 й маршрут)
Пусть x_1 едет по 1-му, x_2 едет по 2-му, x_3 едет по 3-му маршруту. Тогда получим систему уравнений:
\begin{cases} x_1 + 50 + 10(x_1 + x_3) = 10(x_2 + x_3) + x_2 + 50 \\ 10(x_2 + x_3) + x_3 + 10 + 10(x_1 + x_3) = 10(x_2 + x_3) + x_2 + 50 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \end{cases}
Откуда x_1=x_2=x_3=2. Тогда время в пути (по каждому из маршрутов) составит 92 минуты, т.е. время в пути увеличилось.
Объяснение: новый маршрут позволяет миновать более загруженный участок с пропускной способностью T(c)=c+50. Но, с другой стороны, он создает нагрузку на участки T(c)=10c c.
Получается, что новый участок увеличивает загрузку на существовавшие участки дороги, что приводит к замедлению движения.
3. Возможные варианты:
a) Закрыть новый участок дороги и вернуться к исходной ситуации.
b) Ввести квоту на проезд. Т.е., например, пускать только по 500 машин в день. (По очереди, каждый может пользоваться дорогой только один раз в 12 дней). Тогда все остальные машины распределятся равномерно по первоначальным участкам. Время в пути по первоначальному участку:
2,75+50+10(2,75+0,5)=85,25
В то же время, время в пути по привилегированному участку составит
10(2,75+0,5)+(0,5+10)+10(2,75+0,5)=75,5
То есть, пользуясь дорогой один раз в 12 дней, человек будет экономить почти 12 минут. В то же время, в обычный день он тратит на 2 минуты больше, чем обычно.
c) Ввести тариф за пользование дороги (по сути квотирование, аналогично предыдущему пункту).