S027

Легко доказать, что гедонисты предлагают труд при таких значениях заработной платы, которые находятся на интервале w \in (120 - 30\sqrt{6}; 120 + 30\sqrt{6}). Аналогично для трудоголиков: w\in(0;200). 120-30\sqrt 6>0. 120+30\sqrt 6<200. То есть в соответствии с условием задачи ставка зарплаты, устанавливаемая правительством, находится на интервале w \in (120 - 30\sqrt{6}; 120 + 30\sqrt{6}).

L_2 – L_1 = (– 0,1w^2 + 20w) – (– 0,1w^2 + 24w – 900) = 900 – 4w. При максимальном значении w=120 + 30\sqrt{6} мы имеем: L_2 – L_1 = 900 – 4*(120 + 30\sqrt 6 ) = 420 – 120\sqrt 6 = \sqrt {176400} – \sqrt {86400} > 0. Это означает, что месячный доход трудоголиков всегда будет выше месячного дохода гедонистов. Т.е. гедонисты при построении кривой Лоренца будут отнесены к группе «бедных». На приведенном ниже рисунке показано взаимное расположение графиков функций предложения труда гедонистов и трудоголиков.

Предположим, первоначально доля гедонистов в общем располагаемом доходе равна y. Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:

Коэффициент Джини G = \frac{0.5 - \frac{0.5y}{2} - \frac{y + 1}{2} \times 0.5}{0.5} = 0.5 - y. По условию G=0,5-y=1/6. y=1/3. L_1 = \frac{L_1 + L_2}{3}. \quad 2L_1 = L_2. \quad 2 * \left(-0.1w^2 + 24w - 900\right) = -0.1w^2 + 20w.

– 0,1w^2 + 28w –1800 = 0. w_1=100. w_2=180. Пока мы не знаем, какой из этих корней удовлетворяет условиям задачи (т.е. показывает первоначальную ставку заработной платы). Поэтому примем к сведению оба. (Внимание: мы еще вернемся к этому месту в наших вычислениях).

Теперь определим, при каком значении w достигается минимальный на исследуемом интервале коэффициент Джини. Очевидно, этот минимум достигается тогда, когда минимальна относительная разница между L_1 и L_2. В данной задаче проще всего минимизировать следующее отношение: \frac{L_2-L_1}{L_2} (Разумеется, при условии, что L_2>L_1).

\frac{L_2 - L_1}{L_2} = \frac{-4w + 900}{-0.1w^2 + 20w}. \left(\frac{L_2 - L_1}{L_2}\right)' = \frac{-4(-0.1w^2 + 20w) - (-4w + 900)(-0.2w + 20)}{(-0.1w^2 + 20w)^2} = \frac{-0.4w^2 + 180w - 18000}{(-0.1w^2 + 20w)^2}=0. 0.4w^2 + 180w - 18000 = 0. w_1 = 150,   w_2 = 300. (этот корень не отвечает ранее сформулированному условию: 120 – 30\sqrt 6 < w < 120 + 30\sqrt 6 ).

Докажем, что при w=150 действительно достигается минимум функции \frac{L_2 - L_1}{L_2}. Для этого возьмем вторую производную функции и определим ее значение при w=150.

 \left( \frac{L_2 - L_1}{L_2} \right)'' = \frac{(-0,8w + 180)(-0,1w^2 + 20w)^2 - 2(-0,4w^2 + 180w - 18000)(-0,1w^2 + 20w)(-0,2w + 20)}{(-0,1w^2 + 20w)^4} = +\frac{1}{9375}.  Вторая производная положительна. Это значит, что мы получили минимум.

Теперь вернемся к этапу решения, где мы получили два значения первоначальной ставки заработной платы: w_1=100, w_2=180. Сейчас мы выяснили, что минимальное значение коэффициента Джини достигается при w=150. Из условия задачи нам известно, что правительство повысило ставку заработной платы. То есть начальным значением было w=100. Таким образом, ставка заработной платы была увеличена на 50 денежных единиц.

Ответ : на 50 денежных единиц.