О стоимости жизни
В этом году исполняется ровно 100 лет с момента публикации работы российского экономиста Александра Конюса «Проблема истинного индекса стоимости жизни». В своей статье Конюс предложил измерять уровень цен при помощи индекса стоимости жизни. В рамках предложенной задачи Вам предстоит ознакомиться с предложенным им способом и сравнить его с другими используемыми способами подсчета уровня цен.
Рассмотрим потребителя, имеющего функцию полезности $U(x_1, x_2, x_3) = x_1 + 2x_2 + \sqrt{x_3}$. Функция полезности потребителя зависит от количества потребленных им трёх товаров, обозначенных как $x_1, x_2, x_3$ соответственно. Обратите внимание, что количество каждого из потреблённых товаров $x_i \geq 0$, при этом $x_i$ не обязательно является целым числом. Пусть $p_1^t, p_2^t, p_3^t$ --- цены каждого из товаров соответственно в году $t$, где $t=2023$ или $t=2024$. Потребитель стремится поддерживать уровень полезности $\overline{U}$, при этом он делает это так, чтобы его расходы на покупку товаров были минимальны.
Пусть также $\overline{U}=4$, цены товаров в $2023$ году $p_1^{2023} = 10, \, p_2^{2023} = 25, \, p_3^{2023} = \frac{5}{2},$ а в $2024$ году $p_1^{2024} = 10, \, p_2^{2024} = 10, \, p_3^{2024} = \frac{5}{2},$ соответственно.
а) Какие товары и в каком количестве будет покупать потребитель в году и в году?
б) Индекс стоимости жизни показывает, на сколько процентов выросли (или сократились) расходы на поддержку комфортного уровня потребления . Он подсчитывается как отношение расходов на поддержание уровня потребления в году к расходам на поддержание уровня потребления в году . Чему равен индекс стоимости жизни в году?
в) Индекс Пааше (дефлятор ВВП) и индекс Ласпейреса (индекс потребительских цен), также как и индекс стоимости жизни, используются для измерения уровня инфляции. Больше об инфляции можно узнать в подкасте РЭШ «Экономика на слух». Чтобы подсчитать индекс Ласпейреса для года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в году продуктов в ценах года к стоимости потребляемых в году продуктов в ценах года. Для подсчёта индекса Пааше для года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в году продуктов в ценах года к стоимости потребляемых в году продуктов в ценах года. Подсчитайте оба индекса и сравните их с индексом стоимости жизни.
г) Объясните интуитивно, почему индексы соотносятся между собой именно так, как Вы посчитали в предыдущем пункте.
д) Экономист А. утверждает, что смотреть на изменение стоимости ноутбука или смартфона плохо отражает изменение уровня цен в экономике в целом из-за специфических особенностей этих товаров. Приведите два обоснования этой позиции. Предложите, как можно изменить методику подсчёта инфляции для этих товаров.
Ответ
а) Решим задачу для года. Из функции полезности получим .
Это выражение подставим в функцию расходов:
Мы хотим выбрать и так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по , поэтому .
Относительно же мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
Тогда .
Теперь решим задачу для года. Из функции полезности получим .
Это выражение подставим в функцию расходов:
$\text{Cost}^{2024} = 10x_1^{2024} + 10x_2^{2024} + \frac{5x_3^{2024}}{2} = 10x_1^{2024} + 10(2 - 0.5x_1^{2024} - 0.5\sqrt{x_3^{2024}}) + \frac{5x_3^{2024}}{2} =$
$= 20 + 5x_1^{2024} + 2.5x_3^{2024} - 5\sqrt{x_3^{2024}}$
Мы хотим выбрать и так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по , поэтому .
Относительно же мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
$\sqrt{x_3^{2024}} = 1 \implies x_3^{2024} = 1$
Тогда $x_2^{2024}=2-0,5*0-0,5=3/2$
б) Подставим решение из предыдущего пункта. Тогда .
Индекс стоимость жизни
в) Рассчитаем оба индекса. Индекс Пааше
$I_P = \frac{10 \times 0 + 10 \times \frac{3}{2} + 2.5 \times 1}{10 \times 0 + 25 \times \frac{3}{2} + 2.5 \times 1} = \frac{17.5}{40} \approx 0.43$
Индекс Ласпейреса
$I_L = \frac{10 \times 2 + 10 \times 0 + 2.5 \times 1}{10 \times 2 + 25 \times 0 + 2.5 \times 1} = 1$
г) Заметим слудеющее соотношение: .
Видно, что по индексу Ласпейреса уровень цен не изменился, в то время как по индекс Пааше и упал (наблюдается дефляция).
Это объясняется тем, что при подсчете индекса Ласпейреса фиксируется корзина прошлого года, что не учитывает структурные сдвиги в потреблении индивида.
Индекс Пааше предлагает подстраивать эту корзину под новую из-за чего может происходить переоценка в нижнюю сторону, когда индекс учитывает структурные изменения,
так как напрямую строится исходя из выбора индивида
д) Засчитывались различные корректные объяснения, в частности,
- изменение качества товара,
- малая роль товара в потребления,
- зависимость цены товары от технологического развития,
- роль товара как инвестиции.
В качестве возможного изменения можно учитывать цену за мощность процессоров, величину видеопамяти и т.п. — это позволяет учесть изменение стоимости и доступность технических характеристик во времени. Предложенная идея называется гедонистическое ценообразованием.