О стоимости жизни
В этом году исполняется ровно 100 лет с момента публикации работы российского экономиста Александра Конюса «Проблема истинного индекса стоимости жизни». В своей статье Конюс предложил измерять уровень цен при помощи индекса стоимости жизни. В рамках предложенной задачи Вам предстоит ознакомиться с предложенным им способом и сравнить его с другими используемыми способами подсчета уровня цен.
Рассмотрим потребителя, имеющего функцию полезности U(x_1, x_2, x_3) = x_1 + 2x_2 + \sqrt{x_3}. Функция полезности потребителя зависит от количества потребленных им трёх товаров, обозначенных как x_1, x_2, x_3 соответственно. Обратите внимание, что количество каждого из потреблённых товаров x_i \geq 0, при этом x_i не обязательно является целым числом. Пусть p_1^t, p_2^t, p_3^t --- цены каждого из товаров соответственно в году t, где t=2023 или t=2024. Потребитель стремится поддерживать уровень полезности \overline{U}, при этом он делает это так, чтобы его расходы на покупку товаров были минимальны.
Пусть также \overline{U}=4, цены товаров в 2023 году p_1^{2023} = 10, \, p_2^{2023} = 25, \, p_3^{2023} = \frac{5}{2}, а в 2024 году p_1^{2024} = 10, \, p_2^{2024} = 10, \, p_3^{2024} = \frac{5}{2}, соответственно.
а) Какие товары и в каком количестве будет покупать потребитель в 2023 году и в 2024 году?
б) Индекс стоимости жизни показывает, на сколько процентов выросли (или сократились) расходы на поддержку комфортного уровня потребления \overline{U}. Он подсчитывается как отношение расходов на поддержание уровня потребления \overline{U} в году t к расходам на поддержание уровня потребления \overline{U} в году t-1. Чему равен индекс стоимости жизни в 2024 году?
в) Индекс Пааше (дефлятор ВВП) и индекс Ласпейреса (индекс потребительских цен), также как и индекс стоимости жизни, используются для измерения уровня инфляции. Больше об инфляции можно узнать в подкасте РЭШ «Экономика на слух». Чтобы подсчитать индекс Ласпейреса для 2024 года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в 2023 году продуктов в ценах 2024 года к стоимости потребляемых в 2023 году продуктов в ценах 2023 года. Для подсчёта индекса Пааше для 2024 года, необходимо узнать отношение стоимости потребляемых в 2024 году продуктов в ценах 2024 года к стоимости потребляемых в 2024 году продуктов в ценах 2023 года. Подсчитайте оба индекса и сравните их с индексом стоимости жизни.
г) Объясните интуитивно, почему индексы соотносятся между собой именно так, как Вы посчитали в предыдущем пункте.
д) Экономист А. утверждает, что смотреть на изменение стоимости ноутбука или смартфона плохо отражает изменение уровня цен в экономике в целом из-за специфических особенностей этих товаров. Приведите два обоснования этой позиции. Предложите, как можно изменить методику подсчёта инфляции для этих товаров.
а) Решим задачу для 2023 года. Из функции полезности получим x_1^{2023} = 4 - 2x_2^{2023} - \sqrt{x_3^{2023}}.
Это выражение подставим в функцию расходов:
\text{Cost}^{2023} = 10x_1^{2023} + 25x_2^{2023} + \frac{5x_3^{2023}}{2} = 10\left(4 - 2x_2^{2023} - \sqrt{x_3^{2023}}\right) + 25x_2^{2023} + \frac{5x_3^{2023}}{2} =
= 40 + 5x_2^{2023} + 2.5x_3^{2023} - 10\sqrt{x_3^{2023}}
Мы хотим выбрать x_2^{2023} и x_3^{2023} так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по x_2^{2023}, поэтому x_2^{2023}=0.
Относительно же \sqrt{x_3^{2023}} мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
\sqrt{x_3^{2023}} = 2 \implies x_3^{2023} = 4
Тогда x_1^{2023}=4-2*0-2=2.
Теперь решим задачу для 2024 года. Из функции полезности получим x_2^{2024} = 2 - 0.5x_1^{2024} - 0.5\sqrt{x_3^{2024}}.
Это выражение подставим в функцию расходов:
\text{Cost}^{2024} = 10x_1^{2024} + 10x_2^{2024} + \frac{5x_3^{2024}}{2} = 10x_1^{2024} + 10(2 - 0.5x_1^{2024} - 0.5\sqrt{x_3^{2024}}) + \frac{5x_3^{2024}}{2} =
= 20 + 5x_1^{2024} + 2.5x_3^{2024} - 5\sqrt{x_3^{2024}}
Мы хотим выбрать x_1^{2024} и x_3^{2024} так, чтобы минимизировать расходы, подсчитываемые по формуле выше.
Заметим, что функция возрастает по x_1^{2024}, поэтому x_1^{2024}=0.
Относительно же \sqrt{x_3^{2024}} мы получили параболу с ветвями вверх, минимум которой в вершине, т.е.
\sqrt{x_3^{2024}} = 1 \implies x_3^{2024} = 1
Тогда x_2^{2024}=2-0,5*0-0,5=3/2
б) Подставим решение из предыдущего пункта. Тогда \text{Cost}^{2023} = 30, \, \text{а Cost}^{2024} = 17.5.
Индекс стоимость жизни \text{COLI} = \frac{17.5}{30} \approx 0.58
в) Рассчитаем оба индекса. Индекс Пааше
I_P = \frac{10 \times 0 + 10 \times \frac{3}{2} + 2.5 \times 1}{10 \times 0 + 25 \times \frac{3}{2} + 2.5 \times 1} = \frac{17.5}{40} \approx 0.43
Индекс Ласпейреса
I_L = \frac{10 \times 2 + 10 \times 0 + 2.5 \times 1}{10 \times 2 + 25 \times 0 + 2.5 \times 1} = 1
г) Заметим слудеющее соотношение: I_L \geq \text{COLI} \geq I_P.
Видно, что по индексу Ласпейреса уровень цен не изменился, в то время как по индекс Пааше и COLI упал (наблюдается дефляция).
Это объясняется тем, что при подсчете индекса Ласпейреса фиксируется корзина прошлого года, что не учитывает структурные сдвиги в потреблении индивида.
Индекс Пааше предлагает подстраивать эту корзину под новую из-за чего может происходить переоценка в нижнюю сторону, когда индекс COLI учитывает структурные изменения,
так как напрямую строится исходя из выбора индивида
д) Засчитывались различные корректные объяснения, в частности,
- изменение качества товара,
- малая роль товара в потребления,
- зависимость цены товары от технологического развития,
- роль товара как инвестиции.
В качестве возможного изменения можно учитывать цену за мощность процессоров, величину видеопамяти и т.п. — это позволяет учесть изменение стоимости и доступность технических характеристик во времени. Предложенная идея называется гедонистическое ценообразованием.