S001
В одном захолустном городе открыли ретро-кинотеатр. В этом кинотеатре круглые сутки показывают короткометражные фильмы с участием Чарли Чаплина и Бастера Китона, причем каждый сеанс продолжается ровно час. Поскольку фильмы немые, для их озвучивания кинотеатр нанимает тапёров. К сожалению, во всем городе только два человека умеют играть на фортепиано – Бетховенко и Шопенский. Бетховенко хорошо играет с утра, пока трезвый. Через некоторое время, наклюкавшись, он начинает путать ноты, клавиши и педали, и по этому поводу громко ругается. Поэтому на первый сеанс, который озвучивает Бетховенко, приходит 255 человек, на второй сеанс – 245, на третий – 235 и т.д. Учитывая это, через некоторое количество сеансов администрация отправляет Бетховенко домой, а его место за роялем занимает Шопенский. Он озвучивает все сеансы до утра, а потом его опять сменяет Бетховенко. Шопенский всегда играет громко, аккуратно и без ошибок, но, к сожалению, он знает только одно музыкальное произведение – собачий вальс. Поэтому на каждый сеанс с участием Шопенского всегда приходит всего лишь 100 человек.
Цена билета на один сеанс равна 1 рублю. Эту цену установили местные власти, и администрация кинотеатра изменить ее не может. Разумеется, эта цена известна тапёрам. Почасовая оплата тапёров определяется следующим образом. Сначала директор кинотеатра в отсутствие Шопенского спрашивает у Бетховенко, сколько рублей за один сеанс он хотел бы получать. В этот момент Бетховенко еще не знает, какую цену запросит Шопенский и сколько сеансов в сутки администрация отдаст ему и Шопенскому. Затем директор в отсутствие Бетховенко сообщает Шопенскому, какую ставку зарплаты за час запросил Бетховенко и, в свою очередь, спрашивает у Шопенского, сколько он хотел бы получать за час игры (при этом Шопенский опять-таки не знает, как будут распределены сеансы между ним и Бетховенко). Поставленный перед фактом, Шопенский принимает как должное условия Бетховенко и называет свою цену. После этого администрация определяет, сколько сеансов в сутки будет озвучивать тот и другой тапёр. Для простоты будем считать, что все расходы кинотеатра – это оплата игры тапёров.
Известно, что администрация пытается минимизировать убытки этого дурацкого кинотеатра, дотируемого местным управлением культуры, а Бетховенко и Шопенский пытаются максимизировать свои доходы. Учитывая это, определите, сколько сеансов в сутки достанется каждому тапёру, а также рассчитайте почасовую оплату каждого из них.
Пусть w_1 – почасовая оплата Бетховенко, w_2 – почасовая оплата Шопенского, t – число часов (сеансов) в сутки для Бетховенко, (24-t) – для Шопенского.
Прежде чем запросить ставку w_1, Бетховенко будет рассуждать следующим образом. Очевидно, узнав величину w_1, Шопенский запросит себе какую-то ставку w_2. Учитывая w_1 и w_2, кинотеатр найдет такую величину t, которая будет максимизировать его прибыль (и минимизировать убытки). Зная это, Шопенский рассчитает такую ставку w_2, при которой кинотеатр, максимизируя прибыль, обеспечит такое значение (24-t), которое для каждого данного значения w_1 будет максимизировать доход Шопенского.
То есть для каждого установленного Бетховенко значения w_1 Шопенский и кинотеатр будут устанавливать w_2 и t, максимизирующие их доходы при заданном w_1, и одновременно косвенно определять доход самого Бетховенко. Поэтому задача Бетховенко заключается в том, чтобы найти такое значение w_1, которое, учитывая поведение Шопенского и кинотеатра, будет максимизировать его собственный доход.
Итак, пусть в ответ на w_1 Шопенский запросил w_2.
Прибыль кинотеатра:
\pi=R-TC= (\text{Выручка от сеансов Бетховенко}) + (\text{Выручка от сеансов Шопенского}) - w_1 t - w_2 (24 - t) = [255 + 245 + 235 + \ldots + 255 - 10 \times (t-1)] \times t + 100 \times (24-t) \times 1 - w_1 t - 24w_2 + w_2 t = \frac{255 + 265 - 10t}{2} \times t + 2400 - 100t - w_1 t - 24w_2 + w_2 t = -5t^2 + 160t + 2400 - w_1 t - 24w_2 + w_2 t.
Величины w_1 и w_2 являются для кинотеатра заданными (экзогенными), поэтому максимум прибыли кинотеатра достигается при условии: \frac{d\pi}{dt} = -10t + 160 - w_1 + w_2 = 0.
t=16-0,1w_1+0,1w_2.
Отсюда следует, что доход Шопенского будет равен:
w_2(24 - t) = w_2 \left(24 - 16 + 0.1w_1 - 0.1w_2 \right) = 8w_2 + 0.1w_1w_2 - 0.1w_2^2.
Поскольку величина w_1 для Шопенского задана (он может определять только w_2 ), максимум его дохода определяется из условия: 8 + 0,1w_1 – 0,2w_2 = 0.
Тем самым мы получаем уравнение реакции почасовой ставки Шопенского (w_2) на почасовую ставку Бетховенко (w_1) : w_2=40+0,5w_1.
t = 16 - 0.1w_1 + 0.1w_2 = 16 - 0.1w_1 + 0.1(40 + 0.5w_1) = 20 - 0.05w_1.
Доход Бетховенко: w_1 t = w_1 (20 - 0.05w_1) = 20w_1 - 0.05w_1^2. 20 - 0.1w_1 = 0. w_1 = 200. w_2 = 40 + 0.5w_1 = 40 + 100 = 140. t = 16 - 0.1w_1 + 0.1w_2 = 10. 24 - t = 14.
Ответ. Почасовая оплата Бетховенко – 200 рублей, он получит 10 сеансов. Почасовая оплата Шопенского – 140 рублей, ему отдадут 14 сеансов.