S001
В одном захолустном городе открыли ретро-кинотеатр. В этом кинотеатре круглые сутки показывают короткометражные фильмы с участием Чарли Чаплина и Бастера Китона, причем каждый сеанс продолжается ровно час. Поскольку фильмы немые, для их озвучивания кинотеатр нанимает тапёров. К сожалению, во всем городе только два человека умеют играть на фортепиано – Бетховенко и Шопенский. Бетховенко хорошо играет с утра, пока трезвый. Через некоторое время, наклюкавшись, он начинает путать ноты, клавиши и педали, и по этому поводу громко ругается. Поэтому на первый сеанс, который озвучивает Бетховенко, приходит человек, на второй сеанс – , на третий – и т.д. Учитывая это, через некоторое количество сеансов администрация отправляет Бетховенко домой, а его место за роялем занимает Шопенский. Он озвучивает все сеансы до утра, а потом его опять сменяет Бетховенко. Шопенский всегда играет громко, аккуратно и без ошибок, но, к сожалению, он знает только одно музыкальное произведение – собачий вальс. Поэтому на каждый сеанс с участием Шопенского всегда приходит всего лишь человек.
Цена билета на один сеанс равна рублю. Эту цену установили местные власти, и администрация кинотеатра изменить ее не может. Разумеется, эта цена известна тапёрам. Почасовая оплата тапёров определяется следующим образом. Сначала директор кинотеатра в отсутствие Шопенского спрашивает у Бетховенко, сколько рублей за один сеанс он хотел бы получать. В этот момент Бетховенко еще не знает, какую цену запросит Шопенский и сколько сеансов в сутки администрация отдаст ему и Шопенскому. Затем директор в отсутствие Бетховенко сообщает Шопенскому, какую ставку зарплаты за час запросил Бетховенко и, в свою очередь, спрашивает у Шопенского, сколько он хотел бы получать за час игры (при этом Шопенский опять-таки не знает, как будут распределены сеансы между ним и Бетховенко). Поставленный перед фактом, Шопенский принимает как должное условия Бетховенко и называет свою цену. После этого администрация определяет, сколько сеансов в сутки будет озвучивать тот и другой тапёр. Для простоты будем считать, что все расходы кинотеатра – это оплата игры тапёров.
Известно, что администрация пытается минимизировать убытки этого дурацкого кинотеатра, дотируемого местным управлением культуры, а Бетховенко и Шопенский пытаются максимизировать свои доходы. Учитывая это, определите, сколько сеансов в сутки достанется каждому тапёру, а также рассчитайте почасовую оплату каждого из них.
Ответ
Пусть – почасовая оплата Бетховенко, – почасовая оплата Шопенского, – число часов (сеансов) в сутки для Бетховенко, – для Шопенского.
Прежде чем запросить ставку , Бетховенко будет рассуждать следующим образом. Очевидно, узнав величину , Шопенский запросит себе какую-то ставку . Учитывая и , кинотеатр найдет такую величину , которая будет максимизировать его прибыль (и минимизировать убытки). Зная это, Шопенский рассчитает такую ставку , при которой кинотеатр, максимизируя прибыль, обеспечит такое значение , которое для каждого данного значения будет максимизировать доход Шопенского.
То есть для каждого установленного Бетховенко значения Шопенский и кинотеатр будут устанавливать и , максимизирующие их доходы при заданном , и одновременно косвенно определять доход самого Бетховенко. Поэтому задача Бетховенко заключается в том, чтобы найти такое значение , которое, учитывая поведение Шопенского и кинотеатра, будет максимизировать его собственный доход.
Итак, пусть в ответ на Шопенский запросил .
Прибыль кинотеатра:
Величины и являются для кинотеатра заданными (экзогенными), поэтому максимум прибыли кинотеатра достигается при условии:
.
Отсюда следует, что доход Шопенского будет равен:
Поскольку величина для Шопенского задана (он может определять только ), максимум его дохода определяется из условия:
Тем самым мы получаем уравнение реакции почасовой ставки Шопенского на почасовую ставку Бетховенко : .
Доход Бетховенко:
Ответ. Почасовая оплата Бетховенко – рублей, он получит сеансов. Почасовая оплата Шопенского – рублей, ему отдадут сеансов.