Пусть w_1 – почасовая оплата Бетховенко, w_2 – почасовая оплата Шопенского, t – число часов (сеансов) в сутки для Бетховенко, (24-t) – для Шопенского.

Прежде чем запросить ставку w_1, Бетховенко будет рассуждать следующим образом. Очевидно, узнав величину w_1, Шопенский запросит себе какую-то ставку w_2. Учитывая w_1 и w_2, кинотеатр найдет такую величину t, которая будет максимизировать его прибыль (и минимизировать убытки). Зная это, Шопенский рассчитает такую ставку w_2, при которой кинотеатр, максимизируя прибыль, обеспечит такое значение (24-t), которое для каждого данного значения w_1 будет максимизировать доход Шопенского.

То есть для каждого установленного Бетховенко значения w_1 Шопенский и кинотеатр будут устанавливать w_2 и t, максимизирующие их доходы при заданном w_1, и одновременно косвенно определять доход самого Бетховенко. Поэтому задача Бетховенко заключается в том, чтобы найти такое значение w_1, которое, учитывая поведение Шопенского и кинотеатра, будет максимизировать его собственный доход.

Итак, пусть в ответ на w_1 Шопенский запросил w_2.

Прибыль кинотеатра:

\pi=R-TC= (\text{Выручка от сеансов Бетховенко}) + (\text{Выручка от сеансов Шопенского}) - w_1 t - w_2 (24 - t) = [255 + 245 + 235 + \ldots + 255 - 10 \times (t-1)] \times t + 100 \times (24-t) \times 1 - w_1 t - 24w_2 + w_2 t = \frac{255 + 265 - 10t}{2} \times t + 2400 - 100t - w_1 t - 24w_2 + w_2 t = -5t^2 + 160t + 2400 - w_1 t - 24w_2 + w_2 t.

Величины w_1 и w_2 являются для кинотеатра заданными (экзогенными), поэтому максимум прибыли кинотеатра достигается при условии: \frac{d\pi}{dt} = -10t + 160 - w_1 + w_2 = 0.

t=16-0,1w_1+0,1w_2.

Отсюда следует, что доход Шопенского будет равен:

w_2(24 - t) = w_2 \left(24 - 16 + 0.1w_1 - 0.1w_2 \right) = 8w_2 + 0.1w_1w_2 - 0.1w_2^2.

Поскольку величина w_1 для Шопенского задана (он может определять только w_2 ), максимум его дохода определяется из условия: 8 + 0,1w_1 – 0,2w_2 = 0.

Тем самым мы получаем уравнение реакции почасовой ставки Шопенского (w_2) на почасовую ставку Бетховенко (w_1) : w_2=40+0,5w_1.

t = 16 - 0.1w_1 + 0.1w_2 = 16 - 0.1w_1 + 0.1(40 + 0.5w_1) = 20 - 0.05w_1.

Доход Бетховенко: w_1 t = w_1 (20 - 0.05w_1) = 20w_1 - 0.05w_1^2. 20 - 0.1w_1 = 0. w_1 = 200. w_2 = 40 + 0.5w_1 = 40 + 100 = 140. t = 16 - 0.1w_1 + 0.1w_2 = 10. 24 - t = 14.

Ответ. Почасовая оплата Бетховенко – 200 рублей, он получит 10 сеансов. Почасовая оплата Шопенского – 140 рублей, ему отдадут 14 сеансов.