Задача 2.2. РЭ ПОШ – 2021 (11 класс)
В стране, в которой спрос на товар имеет вид Q=120-P, а предложение труда L=4w, существуют две фирмы, которые одновременно выбирают свои выпуски и количество нанимаемых работников. Известно, что производительность труда постоянна и равна 1/4. Руководство одной фирмы решает произвести переквалификацию персонала, благодаря которой все нанятые ей работники увеличат производительность в 2 раза.
а) ( 15 баллов) Сколько готова заплатить эта фирма за переквалификацию?
б) ( 15 баллов) Сколько готов заплатить ее конкурент, чтобы квалификации не произошло?
Производственная функция L=4Q
Тогда w = \frac{L}{4} = \frac{L_1 + L_2}{4} = Q_1 + Q_2 [ 2 балла]
Тогда прибыль фирмы:
Pr_1 = PQ_1 - wL_1 = (120 - Q_1 - Q_2)Q_1 - (Q_2 + Q_1) \cdot 4Q_1 \quad Q_1 \rightarrow \max \quad [ 4 балла]
Q_1 = 12 - \frac{Q_2}{2} \\ Q_2 = 12 - \frac{Q_1}{2} \\ Q_1 = Q_2 = 8 \quad [ 2 балла]
Pr_1 = Pr_2 = (120 - 16) \cdot 8 - 16 \cdot 4 \cdot 8 = 320 \quad [ 7 балла]
Когда фирма меняет производительность, ее производственная функция становится равна L=2Q.
Тогда:
Pr_1 = (120 - Q_1 - Q_2)Q_1 - (0,5Q_1 + Q_2) \cdot 2Q_1 = (120 - 3Q_2)Q_1 - 2Q_1^2 \rightarrow \max, \, Q_1 \geq 0 \quad [ 4 балла]
Q_1^* = \frac{120 - 3Q_2}{4} \\ Pr_2 = (120 - Q_1 - Q_2)Q_2 - (0,5Q_1 + Q_2) \cdot 4Q_2 = (120 - 3Q_1)Q_2 - 5Q_2^2 \rightarrow \max, \, Q_2 \geq 0 \\ Q_2^* = \frac{120 - 3Q_1}{10} \\ Q_1^* = \frac{840}{31} \quad [ 2 балла]
Q_2^* = \frac{120}{31} \quad [ 2 балла]
Pr_1 \approx 1468,470 \quad [ 2 балла]
Pr_2 = \frac{72000}{961} \approx 74,92 \quad [ 2 балла]
Тогда первый готов заплатить 1468,470 - 320 \approx 1148,470, а второй 320 - \frac{72000}{961} \approx 245,078.