Пятница 13-е
В стране Пятница работает 20 фирм. Каждая фирма может работать только в 2 - х отраслях: в добыче нефти или на рынке высоких технологий:
1) Мировая цена на баррель нефти равна 60, внутреннего спроса на нее нет, издержки фирм на b баррелей нефти равны 2b^2.
2) Спрос на рынке высоких технологий равен Q=240-P, издержки фирм в этой отрасли равны Q^2. Если в отрасли высоких технологий больше 1 - й фирмы, то они начинают конкурировать по модели Курно.
Каждая фирма преследует свои личные интересы и максимизирует свою прибыль.
а) Найдите, сколько фирм будет работать на рынке высоких технологий в равновесии. В пятницу 13 - го числа в одной арабской стране случилась революция и эта страна отказалась экспортировать нефть на мировой рынок. Тогда цена на баррель нефти выросла до 100.
Допустим k - это количество фирм на рынке высоких технологий ( k>0, \ k - целое). Тогда найдем какие прибыли будут получать фирмы на обоих рынках в зависимости от k :
1) На рынке по добыче нефти. Как мы знаем TC=2Q^2, \ P=60. Тогда прибыль фирмы будет: Pr = TR - TC = 60Q - 2Q^2
Это парабола ветвями вниз и тогда максимум в вершине: Q^* = \frac{-60}{-4} = 15. Тогда Pr = 450.
Получается, что каждая фирма на рынке нефти может получать прибыль 450.
2) На рынке высоких технологий.
Pr = TR - TC = PQ - Q^2 = (240 - q)Q - Q^2 = (240 - q)Q - 2Q^2,
где q - количество, которые производят остальные фирмы. Тогда это парабола ветвями вниз и максимум в вершине: Q^* = \frac{240-q}{4} = 60 - 0.25q
Мы получили кривую реакции одной фирмы на суммарный выпуск остальных фирм. Можем заметить, что q всегда меньше 240, так как P не может быть меньше 0, а значит, что выпуск каждой фирмы Q>0. Также можно отметить, что все фирмы симметричны (одинаковые издержки) и значит, что у них будет одинаковый выпуск в равновесии. Тогда (всего k фирм):
Q = 60 - 0.25q, \quad \text{где } q = (k - 1)Q.
Q = 60 - 0.25(k - 1)Q
(1 + 0.25k - 0.25)Q = 60
Q = \frac{60}{0.25k + 0.75} = \frac{240}{k + 3}
Значит Q_{\text{суммарное}} = kQ = \frac{240k}{k + 3}
Найдем прибыль каждой отдельной фирмы:
P = 240 - Q_{\text{суммарное}} = \frac{720}{k + 3}
Pr = TR - TC = PQ - Q^2 = \frac{720}{k + 3} \cdot \frac{240}{k + 3} - \left(\frac{240}{k + 3}\right)^2 = \left(\frac{480}{k + 3}\right)\left(\frac{240}{k + 3}\right)
Получается, что Pr = \frac{115200}{k^2 + 6k + 9}
Теперь нам нужно сравнить обе прибыли. В равновесии они равны, иначе какой-то фирме выгодно сменить свою отрасль и перейти в более прибыльную.
450 = \frac{115200}{k^2 + 6k + 9}
1 = \frac{256}{k^2 + 6k + 9}
k^2 + 6k + 9 = 256, \text{ откуда } k = 13
б) Найдите какой будет экономическая прибыль у фирм в равновесии теперь.
Найдем прибыль фирмы, работающей на рынке нефти:
Pr = 100Q - 2Q^2\\ Q^* = 25,\quad Pr = 1250
Сравним с прибылью на рынке высоких технологий:
1250 = \frac{115200}{(k+3)^2}
k=6.6, тогда количество фирм может быть либо 7, либо 6. Заметим что когда фирм 7, то прибыль на рынке высоких технологий становится ниже, чем на рынке нефти и фирме выгодно сменить свою отрасль. Тогда в равновесии лишь 6 фирм работают на рынке высоких технологий. Найдем их экономическую прибыль:
Pr_{\text{экономическая}} = \frac{115200}{(6+3)^2} - 1250 = \frac{1550}{9}, так как их лучшая альтернатива это перейти на рынок добычи нефти, где прибыль фиксирована.
Теперь экономическая прибыль фирм на рынке нефти. Их лучшая альтернатива перейти на рынок высоких технологий, но тогда на этом рынке будет 7 фирм:
Pr_{\text{экономическая}} = 1250 - \frac{115200}{(7+3)^2} = 98
в) Прокомментируйте свой ответ, полученный в пункте б). Как могло так получиться?
в) В этом пункте нужны обоснования того, как экономическая прибыль у всех фирм >0, ведь тогда у каждой фирмы ее отрасль лучше чем, остальные и при этом фирмы находятся в разных отраслях.