6. Онлайн-аукционы рекламы
По многим поисковым запросам в Интернете пользователю показываются не только «обычные», но и рекламные ссылки, связанные с запросом. Для продажи подобной контекстной рекламы поисковые сайты, такие как Яндекс или Google, используют специальный аукцион. В данной задаче вам предлагается проанализировать упрощенную модель этого аукциона.
Представим, что есть три рекламодателя — A, B и C — которые хотели бы приобрести рекламу, которая будет показываться пользователю при вводе им определенного поискового запроса (например, «олимпиады по экономике»). На странице есть две позиции, на которых могут размещаться рекламные объявления. Первая позиция находится выше, чем вторая; на первую кликает в среднем 200, а на вторую — 100 пользователей в час. Один клик приносит приносит рекламодателям в среднем x_A, x_B и x_C рублей дополнительной прибыли (без учета оплаты рекламы) соответственно.
В ходе аукциона рекламодатели делают ставки a, b и c. Рекламодатель, сделавший наибольшую ставку, получает рекламу на позиции 1 ; рекламодатель, сделавший вторую по величине ставку, получает рекламу на позиции 2 ; оставшийся рекламодатель не получает ничего. При этом за каждый клик любой выигравший какую-либо позицию рекламодатель платит не свою ставку, а ставку, следующую по величине.
Пример: допустим, рекламодатели сделали ставки a=10, b=4, c=2. Тогда первую позицию выиграет A и получит 200 кликов в час; вторую позицию выиграет B и получит 100 кликов. При этом A заплатит 4 рубля за каждый клик, и его выигрыш составит 200*(x_A-4) ; B заплатит 2 рубля за каждый клик, и его выигрыш составит 100*(x_B-2). Выигрыш C будет равен нулю.
Назовем равновесием такой набор ставок (a, b, c), при котором ни один из рекламодателей не сожалеет о сделанной ставке (иными словами, ни один участник не смог бы получить строго больший выигрыш, сделав какую-либо другую ставку при тех же самых ставках других участников). Например, если в примере выше x_B=1, то приведенный набор ставок (10, 4, 2) не является равновесием, так как участник B получил выигрыш -100, а если бы он сделал ставку, равную нулю, его выигрыш составил бы 0>-100. Исследования показывают, что ставки, которые делают реальные участники подобных аукционов, действительно приблизительно соответствуют равновесию.
а) Допустим, в примере выше x_A=10, x_B=4, x_C=2, так что каждый из участников делает ставку, равную своей дополнительной прибыли. Является ли набор ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равновесием?
б) Допустим, x_A=10, x_B=4, x_C=2, но теперь вторая позиция приносит не 100, а 180 кликов. Является ли набор ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равновесием? Если нет, то найдите какое-либо равновесие, в котором a=10 и c=2.
в) Допустим, некто заявил, что доход поисковика увеличится, если каждый из участников будет платить свою ставку, а не ставку, следующую по величине, ведь очевидно, что своя ставка выше. Объясните, почему эта логика неверна.
а) Рассмотрим рекламодателя A. Его выигрыш при наборе ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равен 200*(x_A-b)=200*(10-4)=1200. Если бы он сделал не ставку 10, а любую из ставок, больших 4, он все равно выиграл бы первую позицию, и его выигрыш не изменился бы. Если бы он сделал ставку от 2 до 4, он бы выиграл вторую позицию, и его выигрыш был бы равен 100*(x_A-c)=100*(10-2)=800<1200. Если бы он сделал любую ставку, меньшую 2, его выигрыш был бы равен нулю. Следовательно, участник A не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку.
Рассмотрим рекламодателя B. Его выигрыш при наборе ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равен 100*(x_B-c)=100*(4-2)=200. Если бы он сделал любую ставку от 2 до 10, его выигрыш не изменился бы. Если бы он сделал ставку больше 10, он бы выиграл первую позицию, его выигрыш был бы равен 200*(x_C-a)=200*(4-10)<0. Если бы он сделал, ставку, меньшую 2, его выигрыш был бы равен нулю. Следовательно, участник B не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку.
Аналогично можно показать, что участник C также не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку. Следовательно, набор ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) является равновесием.
б) Рассмотрим рекламодателя A. Его выигрыш при наборе ставок (a,b,c)=(10,4,2) равен 200*(x_A-b)=200*(10-4)=1200. Если бы он сделал ставку от 2 до 4,
он выиграл бы вторую позицию, и его выигрыш был бы равен 180*(10-2)=180*8=1440>1200. Значит, набор ставок (a,b,c)=(10,4,2) не является равновесием.
Чтобы у A не возникало стимула занизить ставку, чтобы выиграть не первую позицию, а вторую, его выигрыш от первой позиции должен быть достаточно большим. А именно, должно выполняться неравенство 200*(x_A-b)=200*(10-b)\leq 1440. Решая его, получаем, что b\leq 2,8.
Возьмем, например, b=2,5. Аналогично пункту а), несложно показать, что набор ставок (a,b,c)=(10,2.5,2) является равновесием. (Ответом может быть любой набор (10, b, 2), где b\in (2; 2,8].)
(в) При изменении правил аукциона изменится и поведение участников. Ясно, что если участник должен платить свою собственную ставку, то он будет делать ставку меньшую, чем размер его дополнительной прибыли от клика, иначе участие в аукционе бессмысленно. Поэтому ставки в таком аукционе будут меньше, чем аукционе, который мы анализировали в а) и б)., и потому без дополнительного анализа сказать, в каком случае доход будет больше, нельзя.
Дополнительный анализ можно построить на предпосылке о полной информации, т.е. каждый участник аукциона знает размер дополнительной прибыли всех остальных участников.
В пункте a) это сначала приводит к тому, что компания A может опустить свою ставку до уровня 4+e ( e – очень маленькая малая величина), компания B — до уровня 2+e, компания C - до уровня 0, без риска потерять «свое» ( A 1 -ое, B 2 -ое) рекламное место, потому что никому из нижестоящих не выгодно перебивать ставки вышестоящего, это лишь приведет к отрицательной прибыли. Является ли набор ставок (a, b, c)=(4+e, 2+e, 0) равновесием? Нет, не является.
Компания A сохраняет стимул к снижению своей ставки без достоверной угрозы потерять первое рекламное место. Когда угроза потерять первое рекламное место становится достоверной? Это происходит при условии, что компания B получит большую прибыль от первого рекламного места нежели от второго, а именно должно выполняться
неравенство: 200 \times (4 - b) \geq 100 \times \left(4 - (2 + e)\right) \approx 200. Решая его, получаем, что b\leq 3. Таким образом, компания A без достоверной угрозы может снизить свою ставку до уровня 3+e. Набор ставок (a, b, c)=(3+e, 2+e, 0) является равновесием. Несложно проверить, что доход поисковика в этом случае сократится.
В пункте б) аналогичные рассуждения приводят к условию: 200 \times (4 - b) \geq 180 \times \left(4 - (2 + e)\right) \approx 360. Решая его, получаем, что b\leq 2,2. Компания A без достоверной угрозы может снизить свою ставку до уровня 2,2+e. Набор ставок (a, b, c)=(2,2+e, 2+e, 0) является равновесием. Доход поисковика также сократится.
Критерии
а) Всего 5 баллов:
1 балл - только верный ответ ("Да, является")
2 балла - верный ответ и правильный расчет прибыли компаний
3-4 балла - верный ответ, правильный расчет прибыли компаний и неполный анализ
отклоняющегося поведения (отсутствует анализ для одной или нескольких компаний/допущена ошибка в анализе)
5 баллов - верный ответ, правильный расчет прибыли компаний и полный анализ отклоняющегося поведения
б) Всего 10 баллов (по 5 баллов на каждый из вопросов):
1 вопрос
1 балл - только верный ответ ("Нет, не является")
3-4 балла - верный ответ, приведена эффективная стратегия отклонения для
компании A, однако допущена ошибка в расчетах
5 баллов - верный ответ, приведена эффективная стратегия отклонения для
компании A и есть правильный расчет новой прибыли 2 вопрос
1 балл - только верный ответ (например, набор ставок (10, 2.5, 2) является равновесным)
2 балла - введена нереалистичная предпосылка о целочисленных ставках, ответ внутри этой логики верный (набор (10, 3, 2) является равновесием)
3-4 балла - верный ответ дан на конкретном примере, полностью обоснованное равновесие без вывода общего условия самоотбора дает 4 балла
5 баллов - верный ответ, приведено условие самоотбора для компании A (b\leq 2,8) и есть пример нового равновесия
в) Всего 5 баллов:
1-2 балла - указано, что участники аукциона будут снижать свои ставки и что это приведет к снижению прибыли поисковика.
3 балла - снижение ставки участниками аукциона и снижение прибыли поисковика обосновано формальными вычислениями или логическими рассуждениями, однако в ходе рассуждений допущена ошибка.
4-5 баллов - дан верный ответ относительно нового равновесия и изменение прибыли поисковика с использованием формального анализа