а) Рассмотрим рекламодателя A. Его выигрыш при наборе ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равен 200*(x_A-b)=200*(10-4)=1200. Если бы он сделал не ставку 10, а любую из ставок, больших 4, он все равно выиграл бы первую позицию, и его выигрыш не изменился бы. Если бы он сделал ставку от 2 до 4, он бы выиграл вторую позицию, и его выигрыш был бы равен 100*(x_A-c)=100*(10-2)=800<1200. Если бы он сделал любую ставку, меньшую 2, его выигрыш был бы равен нулю. Следовательно, участник A не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку.

Рассмотрим рекламодателя B. Его выигрыш при наборе ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) равен 100*(x_B-c)=100*(4-2)=200. Если бы он сделал любую ставку от 2 до 10, его выигрыш не изменился бы. Если бы он сделал ставку больше 10, он бы выиграл первую позицию, его выигрыш был бы равен 200*(x_C-a)=200*(4-10)<0. Если бы он сделал, ставку, меньшую 2, его выигрыш был бы равен нулю. Следовательно, участник B не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку.

Аналогично можно показать, что участник C также не мог бы получить строго больший выигрыш, делая какую-либо другую ставку. Следовательно, набор ставок (a, b, c)=(10, 4, 2) является равновесием.

б) Рассмотрим рекламодателя A. Его выигрыш при наборе ставок (a,b,c)=(10,4,2) равен 200*(x_A-b)=200*(10-4)=1200. Если бы он сделал ставку от 2 до 4,

он выиграл бы вторую позицию, и его выигрыш был бы равен 180*(10-2)=180*8=1440>1200. Значит, набор ставок (a,b,c)=(10,4,2) не является равновесием.

Чтобы у A не возникало стимула занизить ставку, чтобы выиграть не первую позицию, а вторую, его выигрыш от первой позиции должен быть достаточно большим. А именно, должно выполняться неравенство 200*(x_A-b)=200*(10-b)\leq 1440. Решая его, получаем, что b\leq 2,8.

Возьмем, например, b=2,5. Аналогично пункту а), несложно показать, что набор ставок (a,b,c)=(10,2.5,2) является равновесием. (Ответом может быть любой набор (10, b, 2), где b\in (2; 2,8].)

(в) При изменении правил аукциона изменится и поведение участников. Ясно, что если участник должен платить свою собственную ставку, то он будет делать ставку меньшую, чем размер его дополнительной прибыли от клика, иначе участие в аукционе бессмысленно. Поэтому ставки в таком аукционе будут меньше, чем аукционе, который мы анализировали в а) и б)., и потому без дополнительного анализа сказать, в каком случае доход будет больше, нельзя.

Дополнительный анализ можно построить на предпосылке о полной информации, т.е. каждый участник аукциона знает размер дополнительной прибыли всех остальных участников.

В пункте a) это сначала приводит к тому, что компания A может опустить свою ставку до уровня 4+e ( e – очень маленькая малая величина), компания B — до уровня 2+e, компания C - до уровня 0, без риска потерять «свое» ( A 1 -ое, B 2 -ое) рекламное место, потому что никому из нижестоящих не выгодно перебивать ставки вышестоящего, это лишь приведет к отрицательной прибыли. Является ли набор ставок (a, b, c)=(4+e, 2+e, 0) равновесием? Нет, не является.

Компания A сохраняет стимул к снижению своей ставки без достоверной угрозы потерять первое рекламное место. Когда угроза потерять первое рекламное место становится достоверной? Это происходит при условии, что компания B получит большую прибыль от первого рекламного места нежели от второго, а именно должно выполняться

неравенство: 200 \times (4 - b) \geq 100 \times \left(4 - (2 + e)\right) \approx 200. Решая его, получаем, что b\leq 3. Таким образом, компания A без достоверной угрозы может снизить свою ставку до уровня 3+e. Набор ставок (a, b, c)=(3+e, 2+e, 0) является равновесием. Несложно проверить, что доход поисковика в этом случае сократится.

В пункте б) аналогичные рассуждения приводят к условию: 200 \times (4 - b) \geq 180 \times \left(4 - (2 + e)\right) \approx 360. Решая его, получаем, что b\leq 2,2. Компания A без достоверной угрозы может снизить свою ставку до уровня 2,2+e. Набор ставок (a, b, c)=(2,2+e, 2+e, 0) является равновесием. Доход поисковика также сократится.

Критерии

а) Всего 5 баллов:

1 балл - только верный ответ ("Да, является")

2 балла - верный ответ и правильный расчет прибыли компаний

3-4 балла - верный ответ, правильный расчет прибыли компаний и неполный анализ

отклоняющегося поведения (отсутствует анализ для одной или нескольких компаний/допущена ошибка в анализе)

5 баллов - верный ответ, правильный расчет прибыли компаний и полный анализ отклоняющегося поведения

б) Всего 10 баллов (по 5 баллов на каждый из вопросов):

1 вопрос

1 балл - только верный ответ ("Нет, не является")

3-4 балла - верный ответ, приведена эффективная стратегия отклонения для

компании A, однако допущена ошибка в расчетах

5 баллов - верный ответ, приведена эффективная стратегия отклонения для

компании A и есть правильный расчет новой прибыли 2 вопрос

1 балл - только верный ответ (например, набор ставок (10, 2.5, 2) является равновесным)

2 балла - введена нереалистичная предпосылка о целочисленных ставках, ответ внутри этой логики верный (набор (10, 3, 2) является равновесием)

3-4 балла - верный ответ дан на конкретном примере, полностью обоснованное равновесие без вывода общего условия самоотбора дает 4 балла

5 баллов - верный ответ, приведено условие самоотбора для компании A (b\leq 2,8) и есть пример нового равновесия

в) Всего 5 баллов:

1-2 балла - указано, что участники аукциона будут снижать свои ставки и что это приведет к снижению прибыли поисковика.

3 балла - снижение ставки участниками аукциона и снижение прибыли поисковика обосновано формальными вычислениями или логическими рассуждениями, однако в ходе рассуждений допущена ошибка.

4-5 баллов - дан верный ответ относительно нового равновесия и изменение прибыли поисковика с использованием формального анализа