Про бюджетное ограничение жителей страны восходящего дыма, потребляющих Каллы (x) и Яны (y) известно, что оно имеет следующий вид:

y(x) = \begin{cases} 2a^\lambda - x^2, & x \leq a^{0.5\lambda}, \\ 2xa^{0.5\lambda} - x^2, & x > a^{0.5\lambda}. \end{cases}

где \lambda\geq 1 - некий параметр, а a\geq 0 — номер человека, причем люди в данной стране были злостно раскатаны асфальтоукладчиком, поэтому они равномерно распределены на всем своем населении, равном N, это значит, что номер человека может быть нецелым. А про функцию полезности людей известно еще меньше, только то, что кривая безразличия (в данной стране называемая просто — КБ) линейна, а еще каждый человек безразличен между двумя какими-то комплектами в точке, где его полезность максимальна.

а) В стране завелся монополист, продающий Каллы, который, несмотря на свой статус, на цену продукта повлиять никак не может. Однако он может выбирать параметр a и продавать количество x, оптимальное, для выбранного им человека. Причем в стране принято считать, что любое событие наступает с вероятностью 50\%, поэтому монополист максимизирует ожидаемую прибыль между двумя оптимальными точками для каждого индивида.

Прибыль монополиста от продажи какого-то x, имеет вид:

П(\lambda, a)=x-\lambda*a^{\lambda}

Найдите максимальную прибыль монополиста, если \lambda=2.

б) Выведите прибыль монополиста в зависимости от \lambda. Какое значение является оптимальным для монополиста?

в) С монополией разобрались, а теперь давайте посчитаем неравенство, выведите кривую Лоренца, если доход людей равен меньшему из двух значений x у двух оптимальных точек для каждого индивида, а людей всего N. А если большему? А если сумме этих двух значений? А если квадрату суммы этих двух значений?

г) А если теперь доход — это площадь под оптимальной кривой безразличия для каждого индивида?