Возможны несколько случаев.

1. Все роботы покупают полис.

2. Никто из роботов не покупает полис.

3. Только современные роботы покупают полис.

Случай, когда только современные роботы покупают полис, не будет отдельно рассматриваться, т.к. функция спроса устаревших роботов лежит строго выше современных, и если современные роботы захотят купить полис, то и устаревшие тоже захотят его купить.

Рассчитаем излишки потребителей (рисунок 1 ) до ( CS_{C,0} и CS_{Y,0} ) и после ( CS_{C,1} и CS_{Y,1} ) покупки полиса (в расчете на 1 робота). Для современного робота

CS_{C,0} = (6 - P)^2 \cdot \frac{1}{2}, \qquad CS_{Y,1} = (6 - 0{,}8 \cdot P)^2 \cdot \frac{1}{2} - 1{,}75.

Для устаревшего робота

CS_{Y,0} = (6 - P)(12 - 2P) \cdot \frac{1}{2} = (6 - P)^2, \qquad CS_{Y,1} = (6 - 0{,}8 \cdot P)^2 - 1{,}75

1. Все роботы покупают полис.

\pi = (0{,}8P \cdot Q(0{,}8P) - 2 \cdot Q(0{,}8P)) + 1{,}75 \cdot 200 \to \max_{0{,}8P}.

Мы уже решали эту оптимизационную задачу для 0,8P в пункте а).

0{,}8P^{*} = 4 \Rightarrow P^{*} = 5.

Посмотрим, захотят ли отклониться устаревшие роботы

CS_{C,1} < CS_{C,0},

(6 - 0{,}8 \cdot 5)^2 \cdot \frac{1}{2} - 1{,}75 < (6 - 5) \cdot \frac{1}{2} б

0{,}25 < 0{,}5.

Значит, устаревшие роботы при такой цене не захотят покупать полис. Найдем точку, при которой устаревшим роботам будет все равно, покупать полис или нет

CS_{C,1} = CS_{C,0},

(6 - 0{,}8 \cdot P)^2 \cdot \frac{1}{2} - 1{,}75 = (6 - P) \cdot \frac{1}{2},

P = \frac{20 \pm 5\sqrt{2}}{6}.

Мы получили 2 цены из решения квадратного уравнения, одна из них ближе к точке оптимума, чем другая (рисунок 2 ), она и будет оптимальной в этом случае.

Вычислим прибыль Капитала от продажи полиса обеим группам

\pi = \frac{1}{3}(2 + 2\sqrt{2})(10 - 2\sqrt{2}) \cdot 100 + 350 \approx 1504{,}25 > 1200.

2. Никто из роботов не покупает полис.

Оптимальная цена в этом случае такая же, как и в пункте а). Рассмотрим, захочет ли кто-то отклониться

Устаревшие роботы

(6 - 4)^2 \cdot \frac{1}{2} < (6 - 0{,}8 \cdot 4)^2 \cdot \frac{1}{2} - 1{,}75

4<6,09

Значит, если устаревшие роботы хотят купить полис, то и современные тоже. Тогда, чтобы никто не покупал полис, Капитану придется повышать цены, отходя от точки оптимума P=4, тем самым уменьшая свою прибыль. Этот случай точно не оптимальный, потому что Капитан может воспользоваться стратегией из случая 1 и увеличить свою прибыль.

3. Только устаревшие роботы покупают полис.

\pi = ((P - 2)(6 - P)) + (0{,}8P - 2)(12 - 2 \cdot 0{,}8P) + 1{,}75 \cdot 100 = (-2{,}28P^2 + 20{,}8P - 34{,}25) \cdot 100.

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине, тогда P^{*} = \frac{260}{57} \approx 4{,}58.

В первом случае мы уже выяснили, что если P > \frac{20 + 5\sqrt{2}}{6} \approx 4{,}51, то современные роботы не захотят покупать полис.

Пока не будем проверять, будут ли покупать полисы устаревшие роботы. Найдем прибыль Капитана

\pi = \frac{75175}{57} \approx 1318 < 1504{,}25

Таким образом, даже если устаревшие роботы и правда захотят купить полис, то Капитан все равно воспользуется стратегией из случая 1 и назначит цену, равную

P = \frac{20 + 5\sqrt{2}}{6}.