Приведем решение "в лоб" – через максимизацию прибыли. Также в данной задаче было возможно графическое решение через построение графика суммарного предложения для двух рынков.

а) Запишем функцию прибыли фирмы "Вершина" и промаксимизируем ее:

\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \max_{Q_d, Q_w \geq 0}

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

Q_d = 20, Q_w = 60

б) Аналогично пункту а) решим пункт б).

1. \Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \max_{Q_d, Q_w \geq 0}

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

Q_w = 80 - Q_d, \quad Q_d = \frac{40 - t}{2}

Запишем и промаксимизируем налоговые сборы: T = 20t - 0,5t^2 \rightarrow \max_{t \geq 0}

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

t = 20 \Rightarrow T_{\text{max}} = 400 - 200 = 200

2. \Pi = Q_d (200 - Q_d) + (160 - t) Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \max_{Q_d, Q_w \geq 0}

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - 2 Q_d - 2 Q_d - 2 Q_w = 200 - 4 Q_d - 2 Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2 Q_d - 2 Q_w = 0 \end{cases}

Q_d = 50 - 0,5 Q_w, \quad Q_w = 60 - t

Максимизируем налоговые сборы: T = 60t - t^2 \rightarrow \max_{t \geq 0}

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

t = 30 \Rightarrow T_{\text{max}} = 1800 - 900 = 900

3. \Pi = Q_d(200 - t - Q_d) + (160 - t)Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \max_{Q_d, Q_w \geq 0}

\begin{cases} \Pi'_{Q_d} = 200 - t - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - t - 4Q_d - 2Q_w = 0 \\ \Pi'_{Q_w} = 160 - t - 2Q_d - 2Q_w = 0 \end{cases}

Q_d = 20, \quad Q_w = \frac{120 - t}{2}

Максимизируем налоговые сборы: T = 20t +60t- 0,5t^2 \rightarrow \max_{t \geq 0}

Это парабола ветвяими вниз, поэтому максимум функции – в вершине:

t = 80 \Rightarrow T_{\text{max}} = 1600+4800 - 3200 = 3200

в) В пунктах 1 и 2 суммарные налоговые сборы составили 1100, в пункте 3 же – 3200. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.