КТВ и торговая санкция
В стране есть три региона, КПВ которых описываются уравнениями y_1 = 10 - x_1, y_2 = 2(10 - x_2), y_3 = 3(10 - x_3). Изначально страна открыта для свободной торговли. На мировом рынке валютой является тугрик. На мировом рынке можно купить или продать любые количества товаров по ценам p_x = 30 тугриков (цена товара икс), p_y = 20 тугриков (цена товара игрек). До торговли у страны нет тугриков.
Во всех пунктах задачи укажите на рисунках координаты точек пересечения КПВ (КТВ) с осями и координаты точек излома КПВ (КТВ).
а) (6 баллов) Постройте КПВ страны.
б) (6 баллов) Постройте кривую торговых возможностей (КТВ) страны на том же рисунке, что и в а). (КТВ является верхней границей множества наборов (X, Y), доступных для потребления страной после производства и торговли.)
в) (16 баллов) Против страны введена торговая санкция по следующему правилу: внешний оборот страны (сумма стоимости импорта и экспорта) не может превышать 960 тугриков. Постройте новую КТВ страны на новом рисунке.
а) Складывая КПВ регионов стандартным образом, получаем, что КПВ страны есть ломаная, соединяющая точки (0; 60), (10; 50), (20; 30) и (30; 0). КПВ имеет следующий вид:
б) Способ 1 (через сравнение А.И. и пропорции обмена). Пропорция обмена на мировом рынке равна 20:30 = 1:1.5 , одну единицу товара икс можно купить за 1.5 единицы товара игрек. Для максимизации потребления товара игрек при данном количестве товара икс нужно производить икс только в тех регионах, где альтернативные издержки его производства меньше, чем его цена (в единицах игрека) на мировом рынке. Альтернативные издержки производства товара икс в каждом регионе равны номеру региона. Поскольку 1 < 1.5 < 2 < 3, производить товар икс нужно только в первом регионе.
Таким образом, страна будет производить X = 10 единиц товара икс и Y = 20 + 30 = 50 единиц товара игрек. Стартуя в этой точке, страна сможет обменивать икс на игрек в пропорции 1:1.5 . Значит, КТВ является отрезком прямой с наклоном -1.5 , проходящей через точку (10; 50) . Несложно установить, что эта прямая пересекает ось икс при X = 43.1, ось игрек при Y = 65 . (Ее уравнение Y = 65 - 1.5 X или 3X + 2Y = 130 ).
Способ 2 (геометрический). Геометрически международная торговля представляет собой движение вдоль некой прямой. Эта прямая имеет наклон, соответствующий пропорции обмена, в нашем случае -P_y / P_x = -1.5 , и проходит через точку (X_0, Y_0) , соответствующую объемам производства (точка X_0, Y_0 ) должна лежать на или под КПВ). КТВ будет соответствовать той из этих прямых, что лежит выше других. Проводя разные такие прямые одном на рисунке с КПВ (они изображены на рис. 7.1 серым цветом), видим, что две других лежат прямые, проходящие через точки (10; 50) . Это и есть искомая КТВ. Значение наклонов, таким образом, легко проверить.
Способ 3 (через максимизацию выручки). Этот способ близок способу 2. Представим себе, что вместо того, чтобы продавать один товар и покупать другой, потребляя в итоге набор (X_1, Y_1), страна сначала продает на мировом рынке все произведенные единицы обоих товаров, а затем на полученные тугрики покупает потребительский набор (X_1, Y_1). Те единицы, которые не торговались на мировом рынке в первом случае, во втором случае страна продает и покупает назад. Поскольку цены для покупки и продажи одинаковы, с помощью второй процедуры можно получить ровно те же наборы, что и просто в результате торговли. Но во втором случае потребление товаров будет максимальным (например, максимальное потребление товара игрек при данном количестве товара икс), если «потребительский бюджет» страны будет максимален. А значит, это рассуждение приведено здесь для полноты. От участника олимпиад на рассуждение не требуется, участник может максимизировать выручку без обоснования.
Выручка страны в тугриках равна 30X + 20Y . Максимизируя ее графическим способом (проводя разные кривые одинаковой выручки 30X + 20Y = \text{const} , на рис. 7.1 они светло-серые), получаем, что максимальная выручка достигается, если производить X = 10 единиц товара икс и Y = 20 + 30 = 50 единиц товара игрек. Выручка будет равна 30 \times 10 + 20 \times 50 = 1300 . Линия максимальной выручки 30X + 20Y = 1300 ( 3X + 2Y = 130 ) и будет искомой КТВ. Из уравнения находим точки пересечения с осями.
Кроме того, выручку можно максимизировать аналитически, подставляя в функцию выручки 30X + 20Y аналитическое выражение для КПВ Y(X) и максимизируя выражение 30X + 20Y(X) по X.
в) Поскольку при максимизации потребления стоимость импорта должна быть равна стоимости экспорта (если бы стоимость экспорта была больше, было бы лучше часть товаров не экспортировать, а потреблять), данная санкция эквивалентна тому, что стоимость импорта не может превышать 960 / 2 = 480 тугриков и стоимость экспорта не может превышать 960 / 2 = 480 тугриков.
Следовательно, импорт и экспорт товара икс не может превышать 480/30 = 16 единиц, импорт и экспорт товара игрек не может превышать 480/20 = 24 единицы, причем достаточно рассмотреть только ограничения по товару икс, ограничения по товару игрек автоматически следуют из того, что стоимости экспорта и импорта равны.
При производстве X = 10 единиц страна сможет экспортировать не больше 10 < 16 единиц товара икс, так что ограничение повлияет на КТВ страны только при импорте товара икс. Значит, отрезок (0; 65) — (10; 50) старой КТВ принадлежит и новой КТВ.
Стартуя в точке \( (10; 50) \), страна сможет сдвинуться вправо вдоль старой КТВ (полученной в пункте б) только на расстояние 16 по оси икс. При X = 10 + 16 = 26 объем потребления товара игрек равен 50 - 24 = 26. Отрезок (10; 50) — (26; 26) будет принадлежать новой КТВ.
При X > 26 страна уже не сможет обеспечить объемы потребления товара игрек, как в б. Чтобы потреблять более 26 единиц товара икс, стране придется увеличивать производство товара икс. При этом, поскольку альтернативные издержки производства икс будут больше 1,5, оптимальным является использование возможности торговли по максимуму, то есть страна будет импортировать 16 единиц товара икс и экспортировать 24 единицы товара игрек. Значит, КТВ при X > 26 будет получаться тем же сдвигом части КТВ правее точки (10; 50) на вектор (16; -24).
Таким образом, новая КТВ будет иметь вид:
Это ломаная линия, соединяющая точки (0; 65), (26; 26), (36; 6) и (38; 0). (Координата 38 получена так: последний участок КТВ имеет наклон 3 и проходит через точку (36; 6), значит он пересекает ось x при X = 36 + 6/3 = 38. )