Ключевая ставка в условиях пандемии
В стране Z совокупный спрос описывается уравнением , где — реальный ВВП, — уровень цен, — ключевая ставка центрального банка в процентах. Например, если ключевая ставка равна 4 %, то уравнением совокупного спроса будет .
В 2120 году краткосрочное совокупное предложение описывалось уравнением ; экономика страны Z находилась в состоянии краткосрочного и долгосрочного равновесия. Ключевая ставка была равна 5 %. В 2121 году началась очередная пандемия, и из-за нарушения цепочек поставок и экономической неопределенности новое предложение сократилось до . Потенциальный ВВП не изменился.
В 2121 году равновесие в экономике только краткосрочное, оно устанавливается один раз и с учетом действий ЦБ.
а) (7 баллов) Определите годовой темп инфляции в 2121 году, если центральный банк не изменит ключевую ставку.
б) (5 баллов) Предположим, что ЦБ придерживается политики таргетирования инфляции на уровне 5 % в год. Какую ключевую ставку установит ЦБ в 2121 году, чтобы удержать годовую инфляцию на уровне 5 %?
в) (18 баллов) Теперь предположим, что ЦБ заботится не только об инфляции, но и о реальном ВВП. ЦБ выбирает ключевую ставку так, чтобы минимизировать потери в 2121 году от несоответствия инфляции целевому уровню , а ВВП — своему потенциальному уровню . , где — потери, — годовой темп инфляции в 2121 году в процентах. Определите оптимальную ключевую ставку и годовой темп инфляции в 2121 году.
а) Найдем сначала равновесный уровень цен в 2120 году. Поскольку , имеем:
Теперь найдем равновесный уровень цен в 2121 году при :
Значит, годовая инфляция составит:
б) Ставка должна быть выбрана так, чтобы равновесный уровень цен составил 1,05. Значит,
Ответ: 9 %.
в) Сначала определим значение потенциального ВВП. Поскольку в 2120 году имело место не только краткосрочное, но и долгосрочное равновесие, потенциальный ВВП равен равновесному ВВП в 2120 году, то есть . Далее можно двигаться двумя способами.
Способ 1. Найдем краткосрочное равновесие при каждом .
откуда
От уровня цен перейдем к инфляции в процентах:
Подставляя выражения для выпуска и инфляции, а также значение потенциального выпуска в функцию потерь, получаем:
Центробанк минимизирует функцию . Приравняем производную к нулю:
L'(r) возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума.
Также можно заметить, что функция потерь квадратична, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке .
Наконец, найдем уровень инфляции при : .
Способ 2. Сначала найдем, какой темп инфляции (или уровень инфляции) оптимален для ЦБ (с учетом его заботы о ВВП), и затем определим, какая ставка реализует данный темп инфляции (или уровень цен или уровень выпуска).
- Независимо от действий ЦБ выполним уравнение краткосрочного равновесия которое в терминах инфляции можно переписать как , откуда , подставляя: . Значит, мы можем получить выражение для потерь в зависимости от инфляции:
Минимизируя эту функцию, получаем откуда . возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума. Также можно заметить, что функции потерь квадратичны, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке .
В качестве альтернативы мы могли бы записать функцию потерь в зависимости от уровня цен , используя кривую предложения а также уравнение перехода
Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный уровень цен будет равен 1.1.
Наконец, мы могли бы обратить функцию предложения , получить функцию потерь в зависимости от выпуска:
Текст с изображения:
-
Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный выпуск равен 60.
-
Чтобы в равновесии достичь темпа инфляции в 10% (уровня цен 1,1), нужно установить ставку , удовлетворяющую уравнению Из этого находим
Если выше было решение через оптимальный выпуск, то сначала находим, какой для этого выпуска требуется темп инфляции: а затем находим ключевую ставку, как в предыдущем абзаце.
Ответ: оптимальная ключевая ставка составит 8%, темп инфляции — 10%.
Комментарии:
1. Мы получили, что если ЦБ заботит также и уровень ВВП, то по сравнению с чистым таргетированием инфляции он будет согласен на больший уровень инфляции ( ) и будет вести более мягкую политику, выражающуюся в более низкой ключевой ставке (( ). Это естественно, ведь мягкая политика и есть средство для увеличения ВВП в краткосрочном периоде. Конечно, если бы весь фокус от инфляции в функции потерь был равен не 8, а меньшему числу, то центробанк проводил бы еще более мягкую политику.
2. В некоторых странах мира (например, в России) центральные банки придерживаются политики чистого таргетирования инфляции (как в пункте б)), а в некоторых (например, в США) центральный банк обязан заботиться как о низкой инфляции, так и о низкой безработице (то есть высоком выпуске), как в пункте в). В США это называется «двойным мандатом» (англ. dual mandate) Федеральной резервной системы.
3. Конечно, в ситуации пандемии мог снизиться также и совокупный спрос (и он снизился в мире в 2020 году). В этой задаче нам было важно акцентировать внимание на инфляционных последствиях пандемии, поэтому мы рассмотрели только шок совокупного предложения. Кризис поставок, связанный со сложностями структурной адаптации экономики к условиям пандемии и временным выбытием работников из рабочей силы, разыгрался в полную силу в 2021 году.