Ключевая ставка в условиях пандемии
В стране Z совокупный спрос описывается уравнением Y = 250 - 100P - 10r , где Y — реальный ВВП, P — уровень цен, r — ключевая ставка центрального банка в процентах. Например, если ключевая ставка равна 4 %, то уравнением совокупного спроса будет Y = 250 - 100P - 10 \cdot 4 = 210 - 100P .
В 2120 году краткосрочное совокупное предложение описывалось уравнением Y = 100P ; экономика страны Z находилась в состоянии краткосрочного и долгосрочного равновесия. Ключевая ставка была равна 5 %. В 2121 году началась очередная пандемия, и из-за нарушения цепочек поставок и экономической неопределенности новое предложение сократилось до Y = 100P - 50 . Потенциальный ВВП не изменился.
В 2121 году равновесие в экономике только краткосрочное, оно устанавливается один раз и с учетом действий ЦБ.
а) (7 баллов) Определите годовой темп инфляции в 2121 году, если центральный банк не изменит ключевую ставку.
б) (5 баллов) Предположим, что ЦБ придерживается политики таргетирования инфляции на уровне 5 % в год. Какую ключевую ставку установит ЦБ в 2121 году, чтобы удержать годовую инфляцию на уровне 5 %?
в) (18 баллов) Теперь предположим, что ЦБ заботится не только об инфляции, но и о реальном ВВП. ЦБ выбирает ключевую ставку так, чтобы минимизировать потери в 2121 году от несоответствия инфляции целевому уровню \pi^* = 5, а ВВП — своему потенциальному уровню Y^* . L = 8(\pi - 5)^2 + (Y - Y^*)^2 , где L — потери, \pi — годовой темп инфляции в 2121 году в процентах. Определите оптимальную ключевую ставку и годовой темп инфляции в 2121 году.
а) Найдем сначала равновесный уровень цен в 2120 году. Поскольку r = 5, имеем:
250 - 100P - 10 \cdot 5 = 100P, 200 = 200P, P = 1.
Теперь найдем равновесный уровень цен в 2121 году при r = 5 :
250 - 100P - 5 = 100P - 50, 250 = 200P, P = 5/4 = 1,25.
Значит, годовая инфляция составит:
\pi = \frac{1,25}{1} - 1 = 25\%.
б) Ставка r должна быть выбрана так, чтобы равновесный уровень цен составил 1,05. Значит,
Y = 250 - 100 \cdot 1,05 - 10r = 100 \cdot 1,05 - 50, 200 - 105 - 10r = 105 - 50, 300 - 200 = 10r, r = 9.
Ответ: 9 %.
в) Сначала определим значение потенциального ВВП. Поскольку в 2120 году имело место не только краткосрочное, но и долгосрочное равновесие, потенциальный ВВП Y^* равен равновесному ВВП в 2120 году, то есть Y^* = Y = 100P = 100 \cdot 1 = 100 . Далее можно двигаться двумя способами.
Способ 1. Найдем краткосрочное равновесие при каждом r.
250 - 100P - 10r = 100P - 50,
откуда
P = \frac{300 - 10r}{200}; {6.1}
Y = 100 \cdot \frac{300 - 10r}{200} - 50 = 100 - 5r. {6.2}
От уровня цен перейдем к инфляции в процентах:
\pi = 100(P - 1) = 100 \cdot \frac{300 - 10r}{200} - 100 = 50 - 5r. {6.3}
Подставляя выражения для выпуска и инфляции, а также значение потенциального выпуска Y^* = 100 в функцию потерь, получаем:
L(r) = 8(50 - 5r - 5)^2 + (100 - 5r - 100)^2 = 25(8(9 - r)^2 + r^2) {6.4}
Центробанк минимизирует функцию L(r) . Приравняем производную к нулю:
L'(r) = 50(-8(9 - r) + r) = 0,
-72 + 9r = 0,
r = 8.
L'(r) возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума.
Также можно заметить, что функция потерь квадратична, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке r = 8.
Наконец, найдем уровень инфляции при r = 8 : \pi = 50 - 5r = 10 .
Способ 2. Сначала найдем, какой темп инфляции (или уровень инфляции) оптимален для ЦБ (с учетом его заботы о ВВП), и затем определим, какая ставка реализует данный темп инфляции (или уровень цен или уровень выпуска).
1) Независимо от действий ЦБ выполним уравнение краткосрочного равновесия Y = 100P = 50, которое в терминах инфляции можно переписать как \pi = 100 \cdot (P - 1) , откуда P = 1 + \pi/100, подставляя: Y = 100 \cdot (1 + \pi/100) - 50 = 50 + \pi - 50 = \pi. Значит, мы можем получить выражение для потерь в зависимости от инфляции:
L(\pi) = 8(\pi - 5)^2 + (50 + \pi - 100)^2 = 8(\pi - 5)^2 + (\pi - 50)^2. {6.5}
Минимизируя эту функцию, получаем L'(\pi) = 2 \cdot (8(\pi - 40 + \pi - 50) = 0, откуда \pi = 10 . L'(\pi) возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума. Также можно заметить, что функции потерь квадратичны, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке \pi = 10.
В качестве альтернативы мы могли бы записать функцию потерь в зависимости от уровня цен P, используя кривую предложения Y = 100P - 50, а также уравнение перехода \pi = 100(P - 1):
L(P) = 8(100P - 100 - 5)^2 + (100P - 50 - 100)^2 = 8(100P - 105)^2 + (100P - 150)^2. {6.6}
Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный уровень цен будет равен 1.1.
Наконец, мы могли бы обратить функцию предложения Y = 50 + \pi , получить функцию потерь в зависимости от выпуска:
Текст с изображения:
L(Y) = 8(Y - 50 - 5)^2 + (Y - 100)^2 = 8(Y - 55)^2 + (Y - 100)^2.
1) Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный выпуск равен 60.
2) Чтобы в равновесии достичь темпа инфляции в 10% (уровня цен 1,1), нужно установить ставку r, удовлетворяющую уравнению 250 - 100 \cdot 1,1 - 10r = 100. Из этого находим r=8
Если выше было решение через оптимальный выпуск, то сначала находим, какой для этого выпуска требуется темп инфляции: \pi = Y - 50 = 60 - 50 = 10, а затем находим ключевую ставку, как в предыдущем абзаце.
Ответ: оптимальная ключевая ставка составит 8%, темп инфляции — 10%.
Комментарии:
1. Мы получили, что если ЦБ заботит также и уровень ВВП, то по сравнению с чистым таргетированием инфляции он будет согласен на больший уровень инфляции (10 > 5 ) и будет вести более мягкую политику, выражающуюся в более низкой ключевой ставке (\(8 < 9 ). Это естественно, ведь мягкая политика и есть средство для увеличения ВВП в краткосрочном периоде. Конечно, если бы весь фокус от инфляции в функции потерь был равен не 8, а меньшему числу, то центробанк проводил бы еще более мягкую политику.
2. В некоторых странах мира (например, в России) центральные банки придерживаются политики чистого таргетирования инфляции (как в пункте б)), а в некоторых (например, в США) центральный банк обязан заботиться как о низкой инфляции, так и о низкой безработице (то есть высоком выпуске), как в пункте в). В США это называется «двойным мандатом» (англ. dual mandate) Федеральной резервной системы.
3. Конечно, в ситуации пандемии мог снизиться также и совокупный спрос (и он снизился в мире в 2020 году). В этой задаче нам было важно акцентировать внимание на инфляционных последствиях пандемии, поэтому мы рассмотрели только шок совокупного предложения. Кризис поставок, связанный со сложностями структурной адаптации экономики к условиям пандемии и временным выбытием работников из рабочей силы, разыгрался в полную силу в 2021 году.