а) Найдем сначала равновесный уровень цен в 2120 году. Поскольку r = 5, имеем:

250 - 100P - 10 \cdot 5 = 100P, 200 = 200P, P = 1.

Теперь найдем равновесный уровень цен в 2121 году при r = 5 :

250 - 100P - 5 = 100P - 50, 250 = 200P, P = 5/4 = 1,25.

Значит, годовая инфляция составит:

\pi = \frac{1,25}{1} - 1 = 25\%.

б) Ставка r должна быть выбрана так, чтобы равновесный уровень цен составил 1,05. Значит,

Y = 250 - 100 \cdot 1,05 - 10r = 100 \cdot 1,05 - 50, 200 - 105 - 10r = 105 - 50, 300 - 200 = 10r, r = 9.

Ответ: 9 %.

в) Сначала определим значение потенциального ВВП. Поскольку в 2120 году имело место не только краткосрочное, но и долгосрочное равновесие, потенциальный ВВП Y^* равен равновесному ВВП в 2120 году, то есть Y^* = Y = 100P = 100 \cdot 1 = 100 . Далее можно двигаться двумя способами.

Способ 1. Найдем краткосрочное равновесие при каждом r.

250 - 100P - 10r = 100P - 50,

откуда

P = \frac{300 - 10r}{200}; {6.1}

Y = 100 \cdot \frac{300 - 10r}{200} - 50 = 100 - 5r. {6.2}

От уровня цен перейдем к инфляции в процентах:

\pi = 100(P - 1) = 100 \cdot \frac{300 - 10r}{200} - 100 = 50 - 5r. {6.3}

Подставляя выражения для выпуска и инфляции, а также значение потенциального выпуска Y^* = 100 в функцию потерь, получаем:

L(r) = 8(50 - 5r - 5)^2 + (100 - 5r - 100)^2 = 25(8(9 - r)^2 + r^2) {6.4}

Центробанк минимизирует функцию L(r) . Приравняем производную к нулю:

L'(r) = 50(-8(9 - r) + r) = 0,

-72 + 9r = 0,

r = 8.

L'(r) возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума.

Также можно заметить, что функция потерь квадратична, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке r = 8.

Наконец, найдем уровень инфляции при r = 8 : \pi = 50 - 5r = 10 .

Способ 2. Сначала найдем, какой темп инфляции (или уровень инфляции) оптимален для ЦБ (с учетом его заботы о ВВП), и затем определим, какая ставка реализует данный темп инфляции (или уровень цен или уровень выпуска).

1) Независимо от действий ЦБ выполним уравнение краткосрочного равновесия Y = 100P = 50, которое в терминах инфляции можно переписать как \pi = 100 \cdot (P - 1) , откуда P = 1 + \pi/100, подставляя: Y = 100 \cdot (1 + \pi/100) - 50 = 50 + \pi - 50 = \pi. Значит, мы можем получить выражение для потерь в зависимости от инфляции:

L(\pi) = 8(\pi - 5)^2 + (50 + \pi - 100)^2 = 8(\pi - 5)^2 + (\pi - 50)^2. {6.5}

Минимизируя эту функцию, получаем L'(\pi) = 2 \cdot (8(\pi - 40 + \pi - 50) = 0, откуда \pi = 10 . L'(\pi) возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума. Также можно заметить, что функции потерь квадратичны, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке \pi = 10.

В качестве альтернативы мы могли бы записать функцию потерь в зависимости от уровня цен P, используя кривую предложения Y = 100P - 50, а также уравнение перехода \pi = 100(P - 1):

L(P) = 8(100P - 100 - 5)^2 + (100P - 50 - 100)^2 = 8(100P - 105)^2 + (100P - 150)^2. {6.6}

Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный уровень цен будет равен 1.1.

Наконец, мы могли бы обратить функцию предложения Y = 50 + \pi , получить функцию потерь в зависимости от выпуска:

Текст с изображения:

L(Y) = 8(Y - 50 - 5)^2 + (Y - 100)^2 = 8(Y - 55)^2 + (Y - 100)^2.

1) Минимизируя эту функцию аналогичным образом, находим, что оптимальный выпуск равен 60.

2) Чтобы в равновесии достичь темпа инфляции в 10% (уровня цен 1,1), нужно установить ставку r, удовлетворяющую уравнению 250 - 100 \cdot 1,1 - 10r = 100. Из этого находим r=8

Если выше было решение через оптимальный выпуск, то сначала находим, какой для этого выпуска требуется темп инфляции: \pi = Y - 50 = 60 - 50 = 10, а затем находим ключевую ставку, как в предыдущем абзаце.

Ответ: оптимальная ключевая ставка составит 8%, темп инфляции — 10%.

Комментарии:

1. Мы получили, что если ЦБ заботит также и уровень ВВП, то по сравнению с чистым таргетированием инфляции он будет согласен на больший уровень инфляции (10 > 5 ) и будет вести более мягкую политику, выражающуюся в более низкой ключевой ставке (\(8 < 9 ). Это естественно, ведь мягкая политика и есть средство для увеличения ВВП в краткосрочном периоде. Конечно, если бы весь фокус от инфляции в функции потерь был равен не 8, а меньшему числу, то центробанк проводил бы еще более мягкую политику.

2. В некоторых странах мира (например, в России) центральные банки придерживаются политики чистого таргетирования инфляции (как в пункте б)), а в некоторых (например, в США) центральный банк обязан заботиться как о низкой инфляции, так и о низкой безработице (то есть высоком выпуске), как в пункте в). В США это называется «двойным мандатом» (англ. dual mandate) Федеральной резервной системы.

3. Конечно, в ситуации пандемии мог снизиться также и совокупный спрос (и он снизился в мире в 2020 году). В этой задаче нам было важно акцентировать внимание на инфляционных последствиях пандемии, поэтому мы рассмотрели только шок совокупного предложения. Кризис поставок, связанный со сложностями структурной адаптации экономики к условиям пандемии и временным выбытием работников из рабочей силы, разыгрался в полную силу в 2021 году.