S029
Однажды ученые-антропологи встретили в лесу питекантропа, который умел делать простые орудия труда – палки-копалки. Для изготовления одной палки-копалки ему требовался целый рабочий день. Будем считать, что палка-копалка выходила из строя в пределах того же месяца, в течение которого и была изготовлена. Производственная функция питекантропа имела вид: Q = (K + 3)L ^2, где Q – число выкопанных в течение месяца корнеплодов, K – число изготовленных и использованных в течение месяца палок-копалок, L – число рабочих дней в течение месяца, которое питекантроп мог посвятить поиску и выкапыванию корнеплодов.
Питекантроп не имел выходных и работал 30 дней в месяц, распределяя эти дни между изготовлением палок-копалок и выкапыванием корнеплодов таким образом, чтобы максимизировать общее количество корнеплодов. Антропологи пожалели питекантропа и решили подарить ему некоторое количество палок-копалок, произведенных фабричным способом.
Сколько, как минимум, готовых палок-копалок должны подарить питекантропу антропологи в расчете на месяц для того, чтобы он в течение месяца занимался только поиском и выкапыванием корнеплодов?
Пусть искомое число палок-копалок равно x. Тогда производственная функция питекантропа принимает вид: Q = (K + 3 + x)L ^2, где K – это по-прежнему число палоккопалок, изготовленных самим питекантропом.
Q = (K + 3 + x)L^2 = (K + 3 + x)(30 - K)^2 = (K + 3 + x)(900 - 60K + K^2) = 900K - 60K^2 + K^3 + 2700 - 180K + 3K^2 + 900x - 60xK + xK^2 = K^3 + (x - 57)K^2 + (720 - 60x)K + 900x + 2700.
Q_{max} достигается при условии: Q' = 3K^2 + 2(x – 57)K + 720 – 60x = 0. Если K=0, то 60x=720. x=12.
Ответ: 12 палок-копалок.