Динамика доходов
Несмотря на развитие социальных лифтов, таких как образование, межпоколенческая социальная мобильность остаётся весьма ограниченной во многих странах. Так, для американца, родившегося в семье из числа 20\% наиболее бедных, шанс иметь доход на уровне 20\% самых богатых составляет всего лишь около 7\%. В то же время его сверстник, родившийся в семье из 20\% самых богатых, станет богаче, чем 80\% его сверстников с вероятностью 35\%. В этой задаче мы проанализируем то, как зависимость доходов ребёнка от доходов родителя влияет на программы борьбы с бедностью.
В стране N доход родителей однозначно определяет доход детей. В таблице ниже для всех возможных значений дохода родителей (в тугриках) указано значение дохода их детей (в тугриках). Эта зависимость сохраняется из поколения в поколение.
а) Доход Анны, Бориса и Виктории равен 19, 20 и 21 тугрикам соответственно. Чему будут равны доходы их внуков? Чему будут равны доходы их потомков 100 поколений спустя?
б) Назовём стационарным состоянием такой уровень дохода, который может поддерживаться неизменным из поколения в поколение сколь угодно долго. Каковы стационарные состояния в стране N ?
Теперь рассмотрим страну M, в которой зависимость дохода детей (y) от дохода родителей (x), оба из которых указаны в зайчиках, описывается следующей функцией
y = \begin{cases} \frac{x^2}{30}, & x \in [0; 30] \\ 30, & x \in (30; 100) \\ \frac{(x - 100)^2}{30} + 100, & x \geq 100 \end{cases}
в) Каковы стационарные состояния дохода в стране M ?
г) Какой заработок будет у трёх ближайших поколений, если родители зарабатывают 15 зайчиков? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов?
д) Пусть доход родителей равен a\geq0 зайчикам. Какой заработок будет у трёх ближайших поколений? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов? Ответ может зависеть от значения параметра a.
Назовём бедным человека, доход которого ниже прожиточного минимума. Изначально прожиточный минимум установлен на уровне 30 зайчиков.
е) Рассмотрим индивида с уровнем дохода m зайчиков, меньшим, чем прожиточный минимум. Программа помощи бедным повышает доход индивида на S зайчиков на всё время жизни индивида. При каких значениях m и S программы будет достаточно для того, чтобы все потомки индивида не были бедными? Может ли быть такое, что дети индивида не будут бедными, а внуки — будут?
ж) Как изменится ваш ответ на вопросы предыдущего пункта, если прожиточный минимум равен 110 зайчикам?
з) На основе ваших ответов на два предыдущих пункта объясните, почему программы помощи бедным в развивающихся странах иногда имеют только краткосрочный положительный эффект.
а) Доходы детей Анны, Бориса и Виктории равны 18, 20 и 23 тугрикам соответственно. Значит, доходы их внуков будут равны 15, 20 и 28. Для того, чтобы узнать значение доходов 100 поколений спустя, достаточно заметить, что через 6 поколений у потомков Анны доход будет равен 0 и останется таким же из поколения в поколение. У потомков Бориса доход не меняется из поколения в поколение, поэтому даже через 100 поколений он будет равен 20 тугрикам. Через 7 поколений у потомков Бориса доход станет равен 100 тугрикам и останется неизменным в дальнейшем.
б) Чтобы уровень дохода не менялся из поколения в поколение, необходимо и достаточно чтобы доход детей равнялся доходу родителей. Тогда стационарные состояния дохода — это 0, 20 и 100 тугриков.
Для решения дальнейших пунктов удобно обратиться к Рисунку ниже. Красная линия — это линия y=xy=x, синяя линия отражает зависимость доходов родителей от доходов детей.
в) Воспользуемся наблюдением из предыдущего пункта. В обозначениях, используемых в задаче, необходимо, чтобы y=x, то есть равенство дохода детей доходу родителей. Рассмотрев по участкам систему уравнений, состоящую из зависимости, обозначенной в условии задачи, и y=x, находим стационарные значения дохода — это 0, 30, 100 и 130 тугриков.
г) Дети будут зарабатывать 15^2/30=7,5, внуки будут зарабатывать 7,5^2/30=1,875, а правнуки —1,975^2/30=15/128. Из поколения в поколение доход сокращается и в долгосрочном периоде будет стремиться к нулю. Математически подкованные конкурсанты могли воспользоваться знанием пределов, но это не было обязательным.
д) Воспользуемся Рисунком и ответом на пункт (в). При стационарных значениях a(0, 30, 100, 130) доход всех будущих поколений равен a. Заметим, что при a \in (0; 30), доход детей будет меньше дохода родителей, потому что синяя линия ниже красной (более формально, можно сказать о выпуклой вниз функции). Доходы следующих трёх поколений равны a^2/30, a^4/27000 и a^*/21870000000 соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к нулю. При a \in (30; 100) доход детей равен 30, а затем доход стабилизируется на этом уровне, поскольку это стационарное состояние дохода. При a \in (100;130) доходы следующих трёх поколений равны 100+(a-100)^2/30, 100+(a-100)^4/27000 и 100+(a-100)^8/21870000000 соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к 100. При a>130 синяя линия лежит выше красной — это значит, что доходы детей превышают доходы родителей. Доходы следующих трёх поколений равны (a-100)^2/30, (a-100)^4/27000 и (a-100)^8/21870000000 соответственно. В долгосрочном периоде доход будет бесконечно и неограниченно расти.
е) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы S\geq30. Заметим, что если доход детей будет не менее 30, то доход всех будущих поколений также не опустится ниже 30.
ж) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы S\geq130-m, потому что остальные уровни дохода в долгосрочном периоде приводят к доходу не более 100. Заметим, что теперь возможна ситуация, при которой индивида не будут бедными, а внуки — будут. В качестве примера рассмотрим m=100, S=20. Доход детей равен 113 \frac{1}{3}, в то время как доход внуков равен 105 \frac{25}{27}.
з) Следуя логике модели, программы помощи бедным могут быть неэффективны в долгосрочном периоде, потому что размер предоставленной помощи недостаточен для того, чтобы человек выбрался из «ловушки бедности» — ситуации, при которой индивид не может преодолеть бедность, потому что текущая бедность приводит к будущей бедности.
О ловушке бедности можно узнать подробнее в статье из проекта РЭШ GURU.Словарь.
Примечание:
Разбалловка по пунктам: (а) - 2 балла, (б) - 1 балл, (в) - 2 балла, (г) - 2 балла, (д), (е), (ж) - по 6 баллов, (з) - 3 балла.