Динамика доходов
Несмотря на развитие социальных лифтов, таких как образование, межпоколенческая социальная мобильность остаётся весьма ограниченной во многих странах. Так, для американца, родившегося в семье из числа наиболее бедных, шанс иметь доход на уровне самых богатых составляет всего лишь около . В то же время его сверстник, родившийся в семье из самых богатых, станет богаче, чем его сверстников с вероятностью . В этой задаче мы проанализируем то, как зависимость доходов ребёнка от доходов родителя влияет на программы борьбы с бедностью.
В стране доход родителей однозначно определяет доход детей. В таблице ниже для всех возможных значений дохода родителей (в тугриках) указано значение дохода их детей (в тугриках). Эта зависимость сохраняется из поколения в поколение.
а) Доход Анны, Бориса и Виктории равен , и тугрикам соответственно. Чему будут равны доходы их внуков? Чему будут равны доходы их потомков поколений спустя?
б) Назовём стационарным состоянием такой уровень дохода, который может поддерживаться неизменным из поколения в поколение сколь угодно долго. Каковы стационарные состояния в стране ?
Теперь рассмотрим страну , в которой зависимость дохода детей от дохода родителей , оба из которых указаны в зайчиках, описывается следующей функцией
$y = \begin{cases} \frac{x^2}{30}, & x \in [0; 30] \\ 30, & x \in (30; 100) \\ \frac{(x - 100)^2}{30} + 100, & x \geq 100 \end{cases}$
в) Каковы стационарные состояния дохода в стране ?
г) Какой заработок будет у трёх ближайших поколений, если родители зарабатывают зайчиков? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов?
д) Пусть доход родителей равен зайчикам. Какой заработок будет у трёх ближайших поколений? Какую динамику вы наблюдаете? Что будет происходить через бесконечное число периодов? Ответ может зависеть от значения параметра .
Назовём бедным человека, доход которого ниже прожиточного минимума. Изначально прожиточный минимум установлен на уровне зайчиков.
е) Рассмотрим индивида с уровнем дохода зайчиков, меньшим, чем прожиточный минимум. Программа помощи бедным повышает доход индивида на зайчиков на всё время жизни индивида. При каких значениях и программы будет достаточно для того, чтобы все потомки индивида не были бедными? Может ли быть такое, что дети индивида не будут бедными, а внуки — будут?
ж) Как изменится ваш ответ на вопросы предыдущего пункта, если прожиточный минимум равен зайчикам?
з) На основе ваших ответов на два предыдущих пункта объясните, почему программы помощи бедным в развивающихся странах иногда имеют только краткосрочный положительный эффект.
Ответ
а) Доходы детей Анны, Бориса и Виктории равны , и тугрикам соответственно. Значит, доходы их внуков будут равны , и . Для того, чтобы узнать значение доходов поколений спустя, достаточно заметить, что через поколений у потомков Анны доход будет равен и останется таким же из поколения в поколение. У потомков Бориса доход не меняется из поколения в поколение, поэтому даже через поколений он будет равен тугрикам. Через поколений у потомков Бориса доход станет равен тугрикам и останется неизменным в дальнейшем.
б) Чтобы уровень дохода не менялся из поколения в поколение, необходимо и достаточно чтобы доход детей равнялся доходу родителей. Тогда стационарные состояния дохода — это , и тугриков.
Для решения дальнейших пунктов удобно обратиться к Рисунку ниже. Красная линия — это линия y=xy=x, синяя линия отражает зависимость доходов родителей от доходов детей.
в) Воспользуемся наблюдением из предыдущего пункта. В обозначениях, используемых в задаче, необходимо, чтобы , то есть равенство дохода детей доходу родителей. Рассмотрев по участкам систему уравнений, состоящую из зависимости, обозначенной в условии задачи, и , находим стационарные значения дохода — это , , и тугриков.
г) Дети будут зарабатывать , внуки будут зарабатывать , а правнуки —. Из поколения в поколение доход сокращается и в долгосрочном периоде будет стремиться к нулю. Математически подкованные конкурсанты могли воспользоваться знанием пределов, но это не было обязательным.
д) Воспользуемся Рисунком и ответом на пункт (в). При стационарных значениях доход всех будущих поколений равен . Заметим, что при , доход детей будет меньше дохода родителей, потому что синяя линия ниже красной (более формально, можно сказать о выпуклой вниз функции). Доходы следующих трёх поколений равны , и соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к нулю. При доход детей равен , а затем доход стабилизируется на этом уровне, поскольку это стационарное состояние дохода. При доходы следующих трёх поколений равны , и соответственно. В долгосрочном периоде доход будет стремиться к . При синяя линия лежит выше красной — это значит, что доходы детей превышают доходы родителей. Доходы следующих трёх поколений равны , и соответственно. В долгосрочном периоде доход будет бесконечно и неограниченно расти.
е) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы . Заметим, что если доход детей будет не менее , то доход всех будущих поколений также не опустится ниже .
ж) Исходя из рассуждений в пункте (д) для того, чтобы все потомки индивида не были бедными необходимо, чтобы , потому что остальные уровни дохода в долгосрочном периоде приводят к доходу не более . Заметим, что теперь возможна ситуация, при которой индивида не будут бедными, а внуки — будут. В качестве примера рассмотрим , . Доход детей равен , в то время как доход внуков равен .
з) Следуя логике модели, программы помощи бедным могут быть неэффективны в долгосрочном периоде, потому что размер предоставленной помощи недостаточен для того, чтобы человек выбрался из «ловушки бедности» — ситуации, при которой индивид не может преодолеть бедность, потому что текущая бедность приводит к будущей бедности.
О ловушке бедности можно узнать подробнее в статье из проекта РЭШ GURU.Словарь.
Примечание:
Разбалловка по пунктам: (а) - балла, (б) - балл, (в) - балла, (г) - балла, (д), (е), (ж) - по баллов, (з) - балла.