Неравенство. Задача 18
Для каждого из следующих пунктов найдите уравнение кривой Лоренца в случае объединения двух стран при условии, что все их жители сохраняют свой уровень дохода:
а) Население первой страны в 3 раза больше населения второй страны, а их доходы равны. Кривая Лоренца в первой стране имеет вид y_1=x_1^2, а второй – y_2=x_2.
y = \begin{cases} \frac{8}{9}x^2, & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x - 1, & \frac{3}{2} \leq x \end{cases}
б) Население первой страны в 3 раза меньше населения второй страны, а их доходы равны. Кривая Лоренца в первой стране имеет вид y_1=x_1^2, а второй – y_2=x_2.
y = \begin{cases} 8x^2, & x \leq \frac{1}{24} \\ \frac{2}{3}x - \frac{1}{72}, & \frac{1}{24} \leq x \leq \frac{19}{24} \\ 8x^2 - 12x + 5, & \frac{19}{24} \leq x \end{cases}
в) Доход первой страны в 2 раза больше дохода второй страны, а их населения
равны. Кривая Лоренца в первой стране имеет вид y_1=x_1^2, а второй – y_2=x_2^2.
y = \begin{cases} \frac{8}{9}x^2, & x \leq \frac{3}{4} \\ \frac{8}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + 1, & \frac{3}{4} \leq x \end{cases}
г) Доход первой страны в a раз больше дохода второй страны, а их населения равны. Кривая Лоренца в первой стране имеет вид y_1=x_1, а второй – y_2=x_2^2.
\text{При } a \leq 2: \quad y = \begin{cases} \frac{4ax^2}{a+1}, & x \leq \frac{a}{4} \\ \frac{8ax - a^2}{4(a+1)}, & \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{a}{4} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x^2 - 4x + a + 1}{a+1}, & \frac{a}{4} + \frac{1}{2} \leq x \end{cases}
\text{При } a \geq 2: \quad y = \begin{cases} \frac{4x^2}{a+1}, & x \leq \frac{1}{2} \\ \frac{2ax - a + 1}{a+1}, & \frac{1}{2} \leq x \end{cases}
д) Доход первой страны в a раз больше дохода второй страны, а их населения равны. Кривая Лоренца в первой стране имеет вид y_1=x_1^2, а второй – y_2=x_2^2.
\text{При } a \leq 1: \quad y = \begin{cases} \frac{4ax^2}{(a+1)^2}, & x \leq \frac{a+1}{2} \\ \frac{4x^2 - 4x + a + 1}{a+1}, & \frac{a+1}{2} \leq x \end{cases}
\text{При } a \geq 1: \quad y = \begin{cases} \frac{4ax^2}{(a+1)^2}, & x \leq \frac{a+1}{2a} \\ \frac{4ax^2 - 4ax + a + 1}{a+1}, & \frac{a+1}{2a} \leq x \end{cases}
