а) Во время спада функция спроса будет иметь вид Q=(90-P)/5=18-P/5. Обратная функция спроса будет иметь вид P=90-5Q. Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема (L_1) и спада (L_2) :

\pi(L_1, L_2) = TR_1 + TR_2 - w(L_1) \cdot L_1 - w(L_2) \cdot L_2 = (90 - Q_1) \cdot Q_1 + (90 - 5Q_2) \cdot Q_2 - (3 + \frac{L_1}{4}) \cdot L_1 - (3 + \frac{L_2}{4}) \cdot L_2 = (90 - \frac{L_1}{2}) \cdot \frac{L_1}{2} + (90 - \frac{5L_2}{2}) \cdot \frac{L_2}{2} - (3 + \frac{L_1}{4}) \cdot L_1 - (3 + \frac{L_2}{4}) \cdot L_2 = (42L_1 - \frac{L_1^2}{2}) + (42L_2 - \frac{3L_2^2}{2}).

Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда

L_1^* = \frac{42}{2/2} = 42, \quad L_2^* = \frac{42}{2 \cdot 3/2} = 14.

Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий MRP_L=MC_L для каждого периода:

Первый период:

MR = 90 - 2Q = 90 - L \\ MPL = \frac{1}{2} \\ MRPL = MR \cdot MPL = (90 - L) \cdot \frac{1}{2} \\ TC(L) = \left(3 + \frac{L}{4}\right) \cdot L \\ MCL = 3 + \frac{L}{2} \\ MRPL = MCL \\ (90 - L) \cdot \frac{1}{2} = 3 + \frac{L}{2} \\ L = 42

Второй период:

MR = 90 - 10Q = 90 - 5L \\ MPL = \frac{1}{2} \\ MRPL = MR \cdot MPL = (90 - 5L) \cdot \frac{1}{2} \\ TC(L) = \left(3 + \frac{L}{4}\right) \cdot L \\ MCL = 3 + \frac{L}{2} \\ MRPL = MCL \\ (90 - 5L) \cdot \frac{1}{2} = 3 + \frac{L}{2} \\ L = 14

Функции MRP_L убывают, а MC_L возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.

Еще один способ – взять производную функции прибыли по обеим переменным: \pi_{L_1}' = 42 - L_1 = 0, откуда L_1^*=42 ; \pi_{L_1}' = 43 -3 L_2 = 0, откуда L_2^*=14. Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная (-1) в период подъема и (-3) в период спада, отрицательна).

Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по Q, P или w. В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.

б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции \pi (L_1, L_2), которую мы нашли выше, но при ограничении L_2\geq 0,5L_1.

Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка (42,14) этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума (42,14), максимум этой функции при ограничении L_2\geq 0,5L_1 достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство.

При этом условии

\pi(L_1, L_2) = \pi(L_1, 0, 5L_1) = 42L_1 - \frac{L_1^2}{2} + \frac{42L_1}{2} - \frac{3(L_1/2)^2}{2} = 63L_1 - \frac{7L_1^2}{8}.

Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является L_1^*=\frac {63}{7/4}=36.

Тогда L_2^*=0,5L_1=18.

Максимум снова можно найти с помощью производной. \pi'=63-7L_1/4=0, откуда L_1=36. Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (-7/4) отрицательна).

Также можно было выписать прибыль как функцию от L_2.

в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна 42+14=56, а в пункте б) 36+18=54<56. Таким образом, благосостояние работников упало.

Примечание:

Примечание 1. Экономический смысл произошедшего заключатся в том, что, предвидя сложности с увольнением, монополист изначально наймет меньше работников, что и уменьшит их благосостояние.

Примечание 2. В данной задаче спрос уменьшается в несколько раз при каждой цене. Возможно ли падение благосостояния работников в результате запрета на увольнение более чем доли \alpha сотрудников, если спрос во время кризиса сдвигается параллельно вниз? (Считайте, что спрос на товар, предложение труда и производственная функция являются линейными функциями.)