Мотивация для менеджера
Владелец фирмы-монополии нанял менеджера по маркетингу. Менеджер может приложить усилия для продвижения товара на рынке. Чем выше этот уровень усилий e, тем выше спрос на продукцию фирмы: q=\sqrt e-p, где p –– цена товара, q –– его количество. Приложение уровня усилий в объеме e сопряжено с издержками в размере e^2 для менеджера. Владелец фирмы хотел бы стимулировать менеджера прилагать усилия, и поэтому зарплата менеджера равна доле выручки фирмы: w=b*TR, где 0<b<1, TR –– выручка монополии, w –– зарплата менеджера.
Взаимодействие владельца фирмы и менеджера устроено так, что сначала владелец выбирает b, а затем менеджер выбирает e и q, воспринимая b как заданный параметр. Владелец фирмы максимизирует выручку фирмы за вычетом расходов на зарплату менеджера (других издержек у фирмы нет). Менеджер максимизирует свою зарплату за вычетом издержек на усилия.
а) ( 5 баллов) Найдите оптимальное для менеджера значение q^* при произвольно выбранных значениях b и e, удовлетворяющих условию. Оно может зависеть от b, \ e или обеих переменных сразу.
На этом шаге b и e заданы. Менеджер выбирает q, максимизируя свою функцию полезности U_{manager}=b*p*q-e^2.
Так как p=\sqrt e-q, то TR=p*q=q(\sqrt e-q).
Тогда U_{manager}=b*q(\sqrt e-q)-e^2.
При выборе q, \ b и e считаются константами, а −e^2 не влияет на оптимизацию по q.
Следовательно, достаточно максимизировать по q выражение: b*q(\sqrt e -q)=b*q\sqrt e-b*q^2.
Так как b>0, это парабола ветвями вниз относительно q, ее максимум лежит в вершине. Таким образом, q^*=\sqrt e/2.
Также можно было сразу заметить, что в силу положительности b, менеджер будет выбирать выпуск, при котором выручка максимальна. Выручка задается выражением TR=q(\sqrt e-q).
Ее максимум можно найти как через вершину параболы, так и через условие MR=0 :MR=\sqrt e-2q=0, откуда получаем тот же ответ.
Ответ: q^*=\sqrt e/2.
б) ( 8 баллов) Найдите оптимальные для менеджера значения e^* и q^* в зависимости от b.
Теперь рассматриваем как заданное только значение b. Подставим q^* как функцию от e в выручку:
TR = q^*(\sqrt{e} - q^*) = \frac{\sqrt{e}}{2}\cdot\frac{\sqrt{e}}{2} = \frac{e}{4}.
Тогда полезность менеджера: U_{manager}=b*\frac{e}{4}-e^2.
Данная функция является параболой ветвями вниз относительно e с максимумом в вершине.
Таким образом, e^*=b/8.
И q^* = \frac{\sqrt{e^*}}{2} = \frac{\sqrt{b/8}}{2} = \frac{\sqrt{2b}}{8}.
Ответ: q^*=\sqrt {2b}/8, e^*=b/8.
в) ( 7 баллов) Найдите оптимальное для владельца значение b^*, а также значения e^* и q^*, которые выберет менеджер при b=b^*.
Подставим найденную зависимость усилий менеджера от доли получаемой им выручки, e^*(b), в найденное выше выражение для TR :
TR = \frac{e^*}{4} = \frac{b}{8 * 4} = \frac{b}{32}.
Прибыль владельца: \Pi_{\text{owner}} = TR \cdot (1 - b) = \frac{b}{32}(1 - b).
Относительно b эта функция является параболой ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине. В таком случае b^*=1/2.
Подставляем b^* обратно в функцию для e^* : e^* = \frac{b^*}{8} = \frac{1}{2 * 8} = \frac{1}{16}.
Тогда q^* = \frac{\sqrt{e^*}}{2} = \frac{\sqrt{1/16}}{2} = \frac{1}{8}.
Ответ: q^*=1/8, \ e^*=1/16, \ b^*=1/2.
Примечание: в данной задаче владелец фирмы решает, как оптимально стимулировать менеджера. Задача нахождения оптимальных систем бонусов и наказаний (оптимального регулирования стимулов агентов) является одной из важнейших в экономической науке. В 2016 г. Бенгт Хольмстрем и Оливер Харт получили Нобелевскую премию по экономике за разработку основополагающих моделей в этой области.