Мотивация для менеджера
Владелец фирмы-монополии нанял менеджера по маркетингу. Менеджер может приложить усилия для продвижения товара на рынке. Чем выше этот уровень усилий , тем выше спрос на продукцию фирмы: , где –– цена товара, –– его количество. Приложение уровня усилий в объеме сопряжено с издержками в размере для менеджера. Владелец фирмы хотел бы стимулировать менеджера прилагать усилия, и поэтому зарплата менеджера равна доле выручки фирмы: , где , –– выручка монополии, –– зарплата менеджера.
Взаимодействие владельца фирмы и менеджера устроено так, что сначала владелец выбирает , а затем менеджер выбирает и , воспринимая как заданный параметр. Владелец фирмы максимизирует выручку фирмы за вычетом расходов на зарплату менеджера (других издержек у фирмы нет). Менеджер максимизирует свою зарплату за вычетом издержек на усилия.
а) ( баллов) Найдите оптимальное для менеджера значение при произвольно выбранных значениях и , удовлетворяющих условию. Оно может зависеть от или обеих переменных сразу.
На этом шаге и заданы. Менеджер выбирает , максимизируя свою функцию полезности .
Так как , то .
Тогда .
При выборе и считаются константами, а − не влияет на оптимизацию по .
Следовательно, достаточно максимизировать по выражение: .
Так как , это парабола ветвями вниз относительно , ее максимум лежит в вершине. Таким образом, .
Также можно было сразу заметить, что в силу положительности , менеджер будет выбирать выпуск, при котором выручка максимальна. Выручка задается выражением .
Ее максимум можно найти как через вершину параболы, так и через условие :, откуда получаем тот же ответ.
Ответ: .
б) ( баллов) Найдите оптимальные для менеджера значения и в зависимости от .
Теперь рассматриваем как заданное только значение . Подставим как функцию от в выручку:
.
Тогда полезность менеджера: .
Данная функция является параболой ветвями вниз относительно с максимумом в вершине.
Таким образом, .
И .
Ответ: , .
в) ( баллов) Найдите оптимальное для владельца значение , а также значения и , которые выберет менеджер при .
Подставим найденную зависимость усилий менеджера от доли получаемой им выручки, , в найденное выше выражение для :
.
Прибыль владельца: .
Относительно эта функция является параболой ветвями вниз, ее максимум лежит в вершине. В таком случае .
Подставляем обратно в функцию для : .
Тогда .
Ответ: .
Примечание: в данной задаче владелец фирмы решает, как оптимально стимулировать менеджера. Задача нахождения оптимальных систем бонусов и наказаний (оптимального регулирования стимулов агентов) является одной из важнейших в экономической науке. В г. Бенгт Хольмстрем и Оливер Харт получили Нобелевскую премию по экономике за разработку основополагающих моделей в этой области.