Из Торжка в Москву
Купец собирается на ярмарку из Торжка в Москву. Он знает, что индивидуальный спрос каждого покупателя на его товар описывается функцией P = 40 − 2q, где P – цена товара, а q – его количество. Число покупателей меняется в зависимости от того, в какой момент купец приедет на ярмарку. Если купец приедет к самому началу ярмарки (в момент 0), покупателей не будет совсем, так же как и после закрытия ярмарки после шести часов её работы. Во время работы ярмарки число покупателей описывается функцией n = −3t2 + 18t, где n – число покупателей, а t – количество часов с момента открытия ярмарки, число покупателей не меняется в течение часа. Купец продаёт свой товар полностью за тот час, к которому он приехал. Через сколько часов после открытия ярмарки должен приехать купец, чтобы получить максимальную прибыль, если у него есть только постоянные издержки, равные 20?
Запишем прибыль купца:
Pr = (40 - 2q) \times q \times (-3 \times t^2 + 18 \times t) - 20 \rightarrow max \quad (+4 балла)
Так как выражение (-3 \times t^2 + 18 \times t) > 0 при t \in (0; 6), то q – это парабола ветвями вниз.
Найдем максимум: q_B = \frac{40 \times (-3t^2 + 18t)}{2 \times 2 \times (4 - 3t^2 + 18t)} = 10 \quad (+3 балла)
Подставляем: Pr = 400 \times (-3 \times t^2 + 18 \times t) - 20 \rightarrow max \quad (+2 балла)
Парабола ветвями вниз, tВ = − 18 / −6 = 3 (+2 балла)
Допустимо альтернативное решение с меньшим количеством формул: Заметим, что оптимальный объём продаж каждому покупателю не зависит от времени приезда: если время приезда уже выбрано, то надо просто продавать каждому покупателю товар так, чтобы больше с него выручить. Оптимальные значения: q = 10, p = 20 (+6 баллов)
С другой стороны, заметим, что оптимальное время приезда не зависит от цены и индивидуального объёма продаж: если цена уже выбрана (выше мы посчитали, что q = 10, p = 20), то надо приехать в тот момент, когда покупателей максимальное количество, т. е. взять среднее арифметическое между 0 и 6
(парабола ведь симметрична, пересечения с осью находятся на одинаковом расстоянии от вершины), т. е. t = 3 (+5 баллов)
Ответ: 3.