1. Рассмотрим оптимизационную задачу:

\begin{cases} Q = \max\{K L - L, 0\} \\ TC = P_k \cdot K + P_l \cdot L \end{cases} \quad \begin{cases} Q = \max\{K L - L, 0\} \rightarrow \max(K, L) \\ TC = K + L \end{cases}

2. Рассмотрим случай Q\geq 0 :

\begin{cases} Q = KL - L \to \max(K, L), \ Q \geq 0 \\ TC = K + L \end{cases}

Q = (TC - L) \cdot L - L = (TC - 1) \cdot L - L^2 \to \text{max} (Это парабола ветвями вниз)

L^* = \begin{cases} \frac{TC - 1}{2}, & \frac{TC - 1}{2} \geq 0 \\ 0, & \frac{TC - 1}{2} < 0 \end{cases}, [ 2 балл]

L^* = \begin{cases} \frac{TC - 1}{2}, & TC \geq 1 \\ 0, & TC < 1 \end{cases}

Случай TC\geq 1 : K = \frac{TC + 1}{2} \geq 0 \quad : \quad Q = \left( \frac{TC - 1}{2} \right)^2 [ 2 балл]

Так как все величины положительные: \sqrt Q=\frac{TC-1}{2}

TC = 2\sqrt{Q} + 1, \quad TC = 2\sqrt{Q} + 1 \geq 1

TC = 2\sqrt{Q} + 1, \quad Q \geq 0

Случай TC < 1: \quad Q = 0, \quad K \to \min, \quad K^* = 0, \quad TC = 0 [ 2 балл]

3. Выпишем функцию общих издержек: TC = \begin{cases} 2\sqrt{Q} + 1, & Q > 0 \\ 0, & Q = 0 \end{cases} [ 2 балл]

Ответ: TC = \begin{cases} 2\sqrt{Q} + 1, & Q > 0 \\ 0, & Q = 0 \end{cases}