Задача 2. РЭ ПОШ – 2025 (10-11 класс)
Иван Иванович на маленьком кирпичном заводике производит кирпичи. Производственная функция фирмы имеет вид:
Q=max\{ KL-L, 0\},
где Q - количество произведенных кирпичей, K - объем капитала, L - объем труда. И труд, и капитал приобретается на совершенно конкурентном рынке по ценам: P_K=1, P_L=1.
На рынке продажи кирпичей фирма является монополистом. Функция спроса имеет вид:Q = \frac{a^2}{(P+1)^2}, где a>0 - некоторый параметр, P - цена товара.
Фирма знает функцию спроса и максимизирует свою прибыль.
а) ( 8 баллов) Выведите функцию издержек фирмы TC(Q).
1. Рассмотрим оптимизационную задачу:
\begin{cases} Q = \max\{K L - L, 0\} \\ TC = P_k \cdot K + P_l \cdot L \end{cases} \quad \begin{cases} Q = \max\{K L - L, 0\} \rightarrow \max(K, L) \\ TC = K + L \end{cases}
2. Рассмотрим случай Q\geq 0 :
\begin{cases} Q = KL - L \to \max(K, L), \ Q \geq 0 \\ TC = K + L \end{cases}
Q = (TC - L) \cdot L - L = (TC - 1) \cdot L - L^2 \to \text{max} (Это парабола ветвями вниз)
L^* = \begin{cases} \frac{TC - 1}{2}, & \frac{TC - 1}{2} \geq 0 \\ 0, & \frac{TC - 1}{2} < 0 \end{cases}, [ 2 балл]
L^* = \begin{cases} \frac{TC - 1}{2}, & TC \geq 1 \\ 0, & TC < 1 \end{cases}
Случай TC\geq 1 : K = \frac{TC + 1}{2} \geq 0 \quad : \quad Q = \left( \frac{TC - 1}{2} \right)^2 [ 2 балл]
Так как все величины положительные: \sqrt Q=\frac{TC-1}{2}
TC = 2\sqrt{Q} + 1, \quad TC = 2\sqrt{Q} + 1 \geq 1
TC = 2\sqrt{Q} + 1, \quad Q \geq 0
Случай TC < 1: \quad Q = 0, \quad K \to \min, \quad K^* = 0, \quad TC = 0 [ 2 балл]
3. Выпишем функцию общих издержек: TC = \begin{cases} 2\sqrt{Q} + 1, & Q > 0 \\ 0, & Q = 0 \end{cases} [ 2 балл]
Ответ: TC = \begin{cases} 2\sqrt{Q} + 1, & Q > 0 \\ 0, & Q = 0 \end{cases}
( 6 баллов) Найдите оптимальный объем производства Q^*(a) при каждом значении параметра a.
1. Выразим P(Q, a)
\begin{cases} a > 0 \\ Q = \frac{a^2}{(P+1)^2} \end{cases} \iff \sqrt{Q} = \frac{a}{P+1}
При P \neq -1: \; Q > 0: \; P + 1 = \frac{a}{\sqrt{Q}}
P(Q, a) = \frac{a}{\sqrt{Q}} - 1, [ 1 балл]
2. Промаксимизируем прибыль монополиста при Q>0
\Pi = P(Q, a) \cdot Q - TC(Q) = \left(\frac{a}{\sqrt{Q}} - 1\right) Q - 2\sqrt{Q} - 1 = (a - 2)\sqrt{Q} - Q - 1 \\ t = \sqrt{Q}, \; t > 0 \\ \Pi = (a - 2)t - t^2 - 1 \to \max(t) \; Это парабола ветвями вниз
t^* = \begin{cases} \frac{a - 2}{2}, & a \geq 2 \\ 0, & a < 2 \end{cases}, \quad Q^* = \begin{cases} \frac{(a - 2)^2}{4}, & a \geq 2 \\ 0, & a < 2 \end{cases} \\ \Pi = \begin{cases} \frac{(a - 2)^2}{4} - 1, & a \geq 2 \\ -1, & a < 2 \end{cases}, [ 3 балл]
3. Если ничего не производим, прибыль равна 0
4. Для каждого a выберем, на каком участке оставаться, получим:
\Pi = \begin{cases} \frac{(a - 2)^2}{4} - 1, & a \geq 4 \\ 0, & a < 4 \end{cases}
5. Выпишем Q, соответствующее каждому из участков:
Q = \begin{cases} 0, & a \leq 4 \\ \frac{a - 2}{2}, & a \geq 4 \end{cases}, [ 2 балл]
в) ( 6 баллов) Фирме предлагают модернизировать завод за S денежных единиц. В случае модернизации производственная функция изменится на следующую: Q=2\sqrt {KL}. Для каждого значения параметра a найдите, какую максимальную сумму фирма готова заплатить за модернизацию. Проиллюстрируйте графически функцию S_{max}(a), гдеS_{max}(a_0) - является данной максимальной суммой при a=a_0.
1. Выведем функцию издержек:
\begin{cases} Q = 2 \sqrt{KL} \\ TC = K + L \end{cases} \quad \sim \quad Q = 2 \sqrt{\frac{TC}{2} \cdot \frac{TC}{2}} = TC
TC=Q, \quad [ 2 балл]
2. Найдем прибыль в зависимости от a a :
\Pi_2 = \left( \frac{a}{\sqrt{Q}} - 1 \right) Q - Q = a \sqrt{Q} - 2Q \to \max (\sqrt{Q})
\left( \sqrt{Q} \right)^* = \frac{a}{4}, \quad Q^* = \frac{a^2}{16}
\Pi_2 = \frac{a^2}{8}, [ 2 балл]
3. Найдем S_{max}=max\{\Pi_2-\Pi, \} :
(a) Рассмотрим 0\leq a\leq 4 : S_{max}=\frac {a^2}{8}
(b) Рассмотрим a>4 :
S_{\text{max}} = \frac{a^2}{8} - \frac{(a-2)^2}{4} + 1 = \frac{a^2 - 2(a^2 - 4a + 4) + 8}{8} = \frac{8a - a^2}{8} = \frac{a(8-a)}{8}
\frac{a(8-a)}{8} \geq 0 \quad \iff \quad 0 \leq a \leq 8, [ 2 балл]
(c) На этом отрезке получаем:
S_{\text{max}} = \begin{cases} \frac{a(8-a)}{8}, & 4 \leq a \leq 8 \\ 0, & a > 8 \end{cases}
Ответ: S_{\text{max}}(a) = \begin{cases} \frac{a^2}{8}, & 0 \leq a \leq 4 \\ \frac{a(8-a)}{8}, & 4 \leq a \leq 8 \\ 0, & a \geq 8 \end{cases}