Задача 2. РЭ ПОШ – 2025 (10-11 класс)
Иван Иванович на маленьком кирпичном заводике производит кирпичи. Производственная функция фирмы имеет вид:
,
где - количество произведенных кирпичей, - объем капитала, - объем труда. И труд, и капитал приобретается на совершенно конкурентном рынке по ценам: , .
На рынке продажи кирпичей фирма является монополистом. Функция спроса имеет вид:, где - некоторый параметр, - цена товара.
Фирма знает функцию спроса и максимизирует свою прибыль.
а) ( баллов) Выведите функцию издержек фирмы .
Ответ
Рассмотрим оптимизационную задачу:
Рассмотрим случай :
(Это парабола ветвями вниз)
, [ балл]
Случай : [ балл]
Так как все величины положительные:
Случай [ балл]
Выпишем функцию общих издержек: [ балл]
Ответ:
( баллов) Найдите оптимальный объем производства при каждом значении параметра .
Ответ
Выразим
При
[ балл]
Промаксимизируем прибыль монополиста при
Это парабола ветвями вниз
[ балл]
Если ничего не производим, прибыль равна
Для каждого выберем, на каком участке оставаться, получим:
Выпишем , соответствующее каждому из участков:
, [ балл]
в) ( баллов) Фирме предлагают модернизировать завод за денежных единиц. В случае модернизации производственная функция изменится на следующую: . Для каждого значения параметра найдите, какую максимальную сумму фирма готова заплатить за модернизацию. Проиллюстрируйте графически функцию , где - является данной максимальной суммой при .
Ответ
Выведем функцию издержек:
, [ балл]
Найдем прибыль в зависимости от :
, [ балл]
Найдем :
(a) Рассмотрим :
(b) Рассмотрим :
[ балл]
(c) На этом отрезке получаем:
Ответ: