Сложение линейного и нелинейного Лоренца.
В мире существуют всего две страны:
кривая Лоренца в первой стране задается как:
известно, что проживают там человек и сумма всех их доходов: .
То есть вместе они все имеют ден. единиц.
Во второй стране Кривая Лоренца задается как:
Во второй стране проживают человек и их сумма доходов: .
Требуется сложить данные две кривые Лоренца.
Ответ
Вспомним, что если у нас есть кривая Лоренца , общая численность населения: , и их суммарный доход , то доход человека , можно рассчитать как: .
Рассчитаем доход человека в первой стране:
а теперь доход во второй стране:
Заметим, что при крайне малых , доход в первой стране какого-то человечишки, будет меньше, чем во второй. Поэтому изначально мы будем набирать людей из страны, до тех пор, пока доход не станет равным самому бедному из страны:
а именно:
до точки:
мы будем набирать людей из страны.
,
Запишем доход в объединенной стране:
Теперь запишем население в объединенной стране:
Если
Взялось из-за этого ограничения:
Теперь мы набрали уже и теперь мы будем набирать всю первую группу из второй страны: пока они не закончатся:
Если:
Найдем верхнее ограничение на , а именно:
Мы уже набрали Из первой страны и еще набрали из второй страны. Таким образом в общей стране их доля будет равной:
теперь мы набрали из первой страны, всю первую группу из второй страны, остается понять, кто беднее, остальные люди из страны или вторая группа из второй страны, вспомним, что доход каждого человека из страны группы составляет ден. ед, а доход человека , в стране задается как: Поэтому самый богатый из страны беднее самого бедного из группы страны, значит мы будем донабирать людей по максимуму из страны:
найдем мы набрали всех десятерых из первой страна и еще из второй:
Ура! осталось немного, вывести последний кусок, а именно мы теперь набираем всю остальную вторую группу из страны, понятно как это сделать:
просто уже запишу итоговый ответ:
Ответ:
