Сложение линейного и нелинейного Лоренца.

Вспомним, что если у нас есть кривая Лоренца f(x), общая численность населения: N, и их суммарный доход I, то доход человека x, можно рассчитать как: \frac{df(x)}{dx} \cdot \frac{I}{N}.

Рассчитаем доход человека x в первой стране: 2x \cdot \frac{100}{10} = 20x

а теперь доход во второй стране: \begin{cases} 9 \{0 \leq x \leq 0.5\} \\ 51 \{0.5 < x \leq 1\} \end{cases}

Заметим, что при крайне малых x, доход в первой стране какого-то человечишки, будет меньше, чем во второй. Поэтому изначально мы будем набирать людей из 1 страны, до тех пор, пока доход не станет равным самому бедному из 2 страны:

а именно:

20x=9

до точки:

x_1=9/20

мы будем набирать людей из 1 страны.

x_1\leq 9/20, x_2=0

Запишем доход в 1 объединенной стране:

Y^* = \frac{y_1(x_1) \cdot I_1 + y_2(x_2) \cdot I_2}{I_1 + I_2}

Y^* = \frac{x_1^2 \cdot 100 + 0.3 \cdot 0 \cdot 210}{310}

Y^* = \frac{x_1^2 \cdot 100}{310}

Теперь запишем население в объединенной стране:

X^* = \frac{x_1 \cdot N_1 + x_2 \cdot N_2}{N_1 + N_2}

X^* = \frac{10 \cdot x_1}{17}

x_1 = \frac{17X^*}{10}

Y^* = \frac{289 X^2}{310}

Если \left\{ \frac{9}{34} > X \geq 0 \right\} \frac{9}{34}

Взялось из-за этого ограничения: x_1 \leq \frac{9}{20}

Теперь мы набрали уже \frac{9}{20}x_1  и теперь мы будем набирать всю первую группу из второй страны: пока они не закончатся:

x_1 = \frac{9}{20}

x_2 \neq 0

Y^* = \frac{\frac{81}{4} + 63x_2}{310}

X^* = \frac{9}{2} + \frac{x_2 \cdot 7}{17}

Y^* = \frac{\frac{81}{4} + 63\left(\frac{17X^* - \frac{9}{2}}{7}\right)}{310}

Если:

\left\{ \bar{x} > x \geq \frac{9}{34} \right\}

Найдем верхнее ограничение на x, а именно: \bar{x}

Мы уже набрали 9/20 Из первой страны и еще набрали 0,5 из второй страны. Таким образом в общей стране их доля будет равной:

\bar{x} = \frac{\frac{9}{20} \cdot 10 + 0.5 \cdot 7}{17} = \frac{8}{17}

теперь мы набрали 9/20 из первой страны, всю первую группу из второй страны, остается понять, кто беднее, остальные люди из 1 страны или вторая группа из второй страны, вспомним, что доход каждого человека из 2 страны 2 группы составляет 51 ден. ед, а доход человека x, в 1 стране задается как: 20x x\in [0; 1]  Поэтому самый богатый из 2 страны беднее самого бедного из 2 группы 2 страны, значит мы будем донабирать людей по максимуму из 1 страны:

x_2 = 0.5 \cdot 7

x_1 = \frac{9}{20} + x_1

Y^* = \frac{\left(\frac{9}{20} + x_1\right)^2 \cdot 100 + 0.5 \cdot 0.3 \cdot 210}{310}

X^* = \frac{\left(\frac{9}{20}\right) \cdot 10 + 0.5 \cdot 7}{17}

Y^* = \frac{\left(\frac{9}{20} + \frac{17x - 8}{17}\right)^2 \cdot 100 + 31.5}{310}

\left\{ \bar{x} > X \geq \frac{8}{17} \right\}

найдем \bar x  мы набрали всех десятерых из первой страна и еще 3,5 из второй:

\bar{x} = \frac{13.5}{17}

\left\{ \frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17} \right\}

Ура! осталось немного, вывести последний кусок, а именно мы теперь набираем всю остальную вторую группу из 2 страны, понятно как это сделать:

просто уже запишу итоговый ответ:

Y^*(X^*) = \begin{cases} \frac{289 X^2}{310} \quad \{ \frac{9}{34} > X \geq 0 \} \\ \frac{\frac{81}{4} + 63 \left( \frac{17X^* - \frac{9}{2}}{7} \right)}{310} \quad \{ \frac{8}{17} > x \geq \frac{9}{34} \} \\ \frac{\left( \frac{9}{20} + \frac{17x - 8}{17} \right)^2 \cdot 100 + 31.5}{310} \quad \{ \frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17} \} \\ \frac{100 + \left( 1.7 \cdot \left( \frac{17X - 13.5}{7} \right) + 31.5 \right)}{310} \quad \{ 1 \geq X > \frac{13.5}{17} \} \end{cases}

Ответ: Y^*(X^*) = \begin{cases} \frac{289 X^2}{310} \quad \{ \frac{9}{34} > X \geq 0 \} \\ \frac{\frac{81}{4} + 63 \left( \frac{17X^* - \frac{9}{2}}{7} \right)}{310} \quad \{ \frac{8}{17} > x \geq \frac{9}{34} \} \\ \frac{\left( \frac{9}{20} + \frac{17x - 8}{17} \right)^2 \cdot 100 + 31.5}{310} \quad \{ \frac{13.5}{17} > X \geq \frac{8}{17} \} \\ \frac{100 + \left( 1.7 \cdot \left( \frac{17X - 13.5}{7} \right) + 31.5 \right)}{310} \quad \{ 1 \geq X > \frac{13.5}{17} \} \end{cases}