Я больше не буду играть в эту игру
Девочка Элли располагает доходом I=20 и тратит его исключительно на потребление уникального товара под названием "Маги в Шогилу". Полезность Элли задается функцией U=q^2+42q-2pq, где q – количество потребленных Магов в Шогилу, p – цена, по которой Элли их купила. Считайте, что Элли воспринимает цену p как заданную.
Маги в Шогилу продает фирма-монополист "Голлы Ралександра", его функция издержек задается как TC=6q. Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить \alpha^2 денежных единиц загадочной подруге Элли – Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести \alpha единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет 0 единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
а) ( 10 баллов) Выведите рыночный спрос в зависимости от \alpha.
Бюджетное ограничение Элли: pq\leq 20 или q\leq {20/p}.
Промаксимизируем полезность
U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \max_{q \geq 0} q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому p\leq 21.
Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
21 - p \leq \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geq 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geq 0
\left[ \begin{array}{c} 0 \leq p \leq 1 \\ 20 \leq p \leq 21 \end{array} \right.
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно 20/p, т.е. она просто потратит весь свой доход.
Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
q^d = \begin{cases} 21 - P, & 0 \leq P \leq 1 \\ \frac{20}{P}, & 1 < P < 20 \\ 21 - P, & 20 \leq P \leq 21 \\ 0, & P > 21 \end{cases}
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от \alpha :
Q^d = \begin{cases} 21 + \alpha - P, & 0 \leq P \leq 1 \\ \frac{20}{P} + \alpha, & 1 < P < 20 \\ 21 + \alpha - P, & 20 \leq P \leq 21 \\ 0, & P \geq 21 \end{cases}
б) ( 15 баллов) Определите значение \alpha, которое выберет монополист, и найдите прибыль, которую он получит.
Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.
1. Q^d = 21 - P, \; P \in [0,1] \cup [20,21]
\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 + 27P - 126
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]
Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции).
Значит P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14.
2. Q^d = \frac{20}{P}, \quad P \in [1, 20]
\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P} \Pi'_2 = \frac{120}{P^2}, \quad \Pi'_2 > 0 \, \forall \, P \Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \, \forall \, P
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20-6=14
3. Q^d = 21 + \alpha - P, \quad P \in [0,1] \cup [20,21]
\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha-\alpha^2
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]
Подставим найденное значение цены обратно в прибыль и промаксимизируем по \alpha :
\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0.75\alpha^2 + 7.5\alpha + 56.25
Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
\alpha^* = 5 \notin [13,15]
Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е.
\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0.75 \times 169 + 7.5 \times 13 + 56.25 = 27
4. Q^d= 20/P+\alpha, \quad P \in [1,20]
\Pi _4= 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно \alpha, поэтому максимум – в вершине.
\alpha^* = \frac{P - 6}{2}
Подставим полученное значение обратно в прибыль:
\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}
\Pi_4' = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0 \quad при допустимых \alpha.
Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63.
Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает P^*=20, а значит \alpha=\frac{20-6}{2}=6, а прибыль равна 63.
Ответ: \alpha=6, \Pi=63.
в) ( 5 баллов) Предположим теперь, что деятельностью «Голлы Ралександра» недоволен верховный орган правительства – Суд Фортуны. Через особые каналы воздействия Суд Фортуны добился того, что издержки монополиста возросли до TC=10q, а плата, которую необходимо отдавать Йонмель возрасла до 5\alpha ^2+6. Определите новое равновесное значение \alpha и прибыль монополиста.
Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая.
1. Q^d=21-P, \quad P \in [0,1] \cup [20, 21]
\Pi _1= 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине.
P^* = \frac{31}{2} = 15{,}5 \notin [0,1] \cup [20,21]
Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10
2. Q^d = \frac{20}{P}, \quad P \in [1, 20]
\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}
\Pi_2' = \frac{200}{P^2} > 0
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20-10 = 10
3. Q^d = 21 + \alpha - P, \quad P \in [0,1] \cup [20,21]
\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
P^*=(P-10)/10
Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6
\Pi_3' = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0
P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]
Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее:
P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5+10-6=9
4. Q^d = \frac{20}{P} + \alpha, \ P \in [1, 20]
\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно \alpha, значит максимум – в вершине.
\alpha^* = \frac{P - 10}{10}
Подставим найденное значение обратно в прибыль:
\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14
\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0
Получили, что производная положительна для всех допустимых P, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5-10+14=9
Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна 10 и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при \alpha=0.