1. Бюджетное ограничение Элли: pq\leq 20 или q\leq {20/p}.

Промаксимизируем полезность

U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \max_{q \geq 0} q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p

Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому p\leq 21.

Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:

21 - p \leq \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geq 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geq 0

\left[ \begin{array}{c} 0 \leq p \leq 1 \\ 20 \leq p \leq 21 \end{array} \right.

Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно 20/p, т.е. она просто потратит весь свой доход.

Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:

q^d = \begin{cases} 21 - P, & 0 \leq P \leq 1 \\ \frac{20}{P}, & 1 < P < 20 \\ 21 - P, & 20 \leq P \leq 21 \\ 0, & P > 21 \end{cases}

Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от \alpha :

Q^d = \begin{cases} 21 + \alpha - P, & 0 \leq P \leq 1 \\ \frac{20}{P} + \alpha, & 1 < P < 20 \\ 21 + \alpha - P, & 20 \leq P \leq 21 \\ 0, & P \geq 21 \end{cases}

2. Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.

1. Q^d = 21 - P, \; P \in [0,1] \cup [20,21]

\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 + 27P - 126

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]

Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции).

Значит P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14.

2. Q^d = \frac{20}{P}, \quad P \in [1, 20]

\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P} \Pi'_2 = \frac{120}{P^2}, \quad \Pi'_2 > 0 \, \forall \, P \Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \, \forall \, P

Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20-6=14

3. Q^d = 21 + \alpha - P, \quad P \in [0,1] \cup [20,21]

\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.

P^*=(P-10)/10

Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:

\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6

\Pi_3' = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0

P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]

Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее:

P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5+10-6=9

4. Q^d = \frac{20}{P} + \alpha, \ P \in [1, 20]

\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно \alpha, значит максимум – в вершине.

\alpha^* = \frac{P - 10}{10}

Подставим найденное значение обратно в прибыль:

\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14

\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0

Получили, что производная положительна для всех допустимых P, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5-10+14=9

Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна 10 и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при \alpha=0.