Задача 2. РЭ ПОШ - 2022 (11 класс)
На фондовом рынке одной страны сейчас торгуются 20 акций различных компаний по цене P_i^0, где i\in\{1,2,...20\}. В течение года может произойти быстрое развитие альтернативной энергетики, или в стране найдут новые месторождения нефти. Что именно произойдет – неизвестно. Если произойдёт развитие альтернативной энергетики, то через год цены на акции будут равны: P_i^1=2i для i\in\{1,2,...10\} и P_i^2=1/2i для i\in\{11,12,...20\}.
В случае нахождения новых месторождений нефти все будет наоборот: P_i^1=1/2i для i\in\{1,2,...10\} и P_i^2=2i для i\in\{11,12,...20\}.
Дополнительно известно, что ставка по депозитам и кредитам на финансовом рынке была постоянной всё время и равнялась 25\%.
Решая следующие пункты, считайте, что возможность арбитража на фондовом рынке отсутствует. Данные акции не приносят дивидендов, поэтому единственная причина их покупки сегодня – это возможность продать их через год. Все цены на акции находятся в равновесии.
а) ( 6 баллов) Приведите экономическую интерпретацию, почему при развитии альтернативной энергетики акции одних компаний могут вырасти, а акции других упасть?
б) ( 20 баллов) Пусть цена акции первой компании сегодня P_1^0=1. Найдите, сколько сегодня стоит акция каждой компании.
в) ( 4 балла) Пусть не сказано, что P_1^0=1. Какие значения может принимать цена акции
первой компании P_1^0 в равновесии?
а) Рассмотрим акции компаний, которые развиваются на альтернативной энергетике (такие как Daqo New Energy Corp., Archaea Energy Inc.), если альтернативная энергетика будет улучшаться, тогда их акции тоже будут расти, поскольку они имеют бОльший потенциал развития, в то время как акции компаний нефтяного сектора (Лукойл, Роснефть) будут падать из-за снижения спроса на их продукцию.
б) Рассмотрим выплаты, которые можно получить с каждой акции, и заметим, что в равновесии P_k=kP_1 при k\in 1,2,...10 и P_q=\frac{q}{11}P_{11} при q\in 11,12,..20.
Такой вывод можно сделать, посмотрев на выплаты или сделав репликацию портфеля:
Реплицируем 1 акцию, использую 2 акцию и банковский вклад ( x и y соответственно):
\begin{cases} 2 = 4x + 1,25y, \\ 0,5 = x + 1,25y. \end{cases}
Получим x=0,5 и y = 0 \implies P_1 = P_2 x + y \implies P_2 = 2P_1 и аналогично для k\in 3,...,10
Аналогично разбираем случай для q\in 11,...,20:
Реплицируем 11 акцию, используя 1 акцию и вклад ( a и b соответственно):
\begin{cases} 5,5 = 2a + 1,25b, \\ 22 = 0,5a + 1,25b \end{cases}
Получим a=-11 и b=22\Rightarrow P_{11}=-P_1+27,5
в) Заметим, что P_{11}=-11P_1+27,5 работает в равновесии.
Также заметим, что цена сейчас не может быть выше максимальной цены через год и не может быть ниже минимальной цены через год.
Поскольку в первом случае нет смысла покупать акции, а во втором случае будет арбитраж, то P_1\in[0,5;2].