144 спроса
На конкурентном рынке 144 окупателя, функция спроса для каждого из которых q_i^d=i-p, где i - номер покупателя от 1 до 144. Если отраслевая функция предложения описывается как Q^s=26p, найдите равновесие на этом рынке.
1. Заметим, что покупатель будет участвовать в рынке только при условии:
q_i^d \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i - p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i \geq p
Таким образом, при цене p покупатели с i<p не участвуют в рынке (q_i^d=0 ).
2. Совокупный спрос:
При целой цене p покупатели с i = p, p + 1, \ldots, 144 формируют спрос:
Q^d = \sum_{i=p}^{144} (i - p)
Это сумма арифметической прогрессии c количеством членов m = 144 - p + 1 :
Q^d = \sum_{k=0}^{144-p} k = \frac{(144-p)(145-p)}{2}
3. Условие рыночного равновесия:
Q^d = Q^s\\ \frac{(144-p)(145-p)}{2} = 26p
Умножим обе части на 2 :
(144 - p)(145 - p) = 52p
Решение квадратного уравнения:
p^2 - 341p + 20880 = 0
p_1 = \frac{341 + \sqrt{341^2 - 4 \cdot 20880}}{2} = \frac{341 + \sqrt{116281 - 83520}}{2} = \frac{341 + \sqrt{32761}}{2} = \frac{341 + 181}{2} = \frac{522}{2} = 261
p_2 = \frac{341 - 181}{2} = \frac{160}{2} = 80
4. Выбор экономически осмысленного корня:
При p=261 : покупатели участвуют только при i\geq 261, но максимальный номер покупателя - 144. Следовательно, спрос равен 0.
При p=80 : покупатели с i\geq 80 участвуют в рынке. Это допустимая цена.
5. Равновесное количество:
Подставим p^*=80 в функцию предложения:
Q^* = 26 \cdot 80 = 2080
Проверим по функции спроса:
Q^d = \frac{(144 - 80)(145 - 80)}{2} = \frac{64 \cdot 65}{2} = \frac{4160}{2} = 2080
Ответ:
p=80, \quad Q=2080
Примечание:
В решение мы предположили, что цена целая и так действительно получилось, нам повезло, однако можно решить задачу и без этого предположения.