Определим, какое количество товара и по какой цене будет продаваться на рынке. Решить задачу максимизации прибыли монополиста можно двумя способами.

Способ 1. Функция предельной выручки монополиста задается как MR(Q)=42-2Q, функция предельных издержек задается как MC(Q)=Q. Предельные издержки возрастают по Q, предельная выручка убывает по Q, тогда оптимумом монополиста является точка пересечения MC(Q) и MR(Q).

MR(Q^*) = MC(Q^*)

42 - 2Q^* = Q^*

Q^* = \frac{42}{3} = 14

P^* = 42 - Q^* = 42 - 14 = 28.

Способ 2. Запишем прибыль монополиста: \pi(Q) = (42 - Q)Q - \frac{Q^2}{2} \longrightarrow \max. Заметим, что прибыль монополиста — парабола ветвями вниз, значит максимум в вершине: Q^* = \frac{-42}{-2-1} = 14, \quad P^* = 42 - Q^* = 42 - 14 = 28.

Найдем прибыль монополиста, если государство никак не вмешивается на рынок: \pi^* = 28 \cdot 14 - \frac{14^2}{2} = 294.

Найдем индекс Лернера в точке равновесия, в случае отсутствия вмешательства государства: L_I = \frac{P - MC}{P} = \frac{28 - 14}{28} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}.

Рассмотрим первый вариант вмешательства (штраф T_1 если индекс Лернера превышает 1/4 ). В точке Q^*=14, \ P^*=28 индекс Лернера превышает 1/4.

Если монополист не платит штраф, то он выбирает такие количества и цену, чтобы индекс Лернера будет меньше или равен 1/4, то есть:

\frac{P - MC}{P} \leq \frac{1}{4} \Rightarrow P - Q \leq \frac{1}{4}P \Rightarrow P \leq \frac{4}{3}Q.

Если монополист выбирает не платить штраф, но максимизирует свою прибыль, то при любом Q выберет наибольшую цену, удовлетворяющую ограничению и лежащую не выше спроса.

Найдем, при каких значениях Q монополист будет выбирать точку на спросе:

42 - Q \leq \frac{4}{3}Q

42 \leq \frac{7}{3}Q

Q \geq 18

Цена, которая установится на рынке, если монополист продает Q единиц:

P = \begin{cases} \frac{4}{3}Q, & 0 \leq Q \leq 18 \\ 42 - Q, & 18 \leq Q \leq 42 \end{cases}

Прибыль монополиста в этом случае:

\pi = \begin{cases} \frac{4}{3}Q \cdot Q - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 18] \\ Q \cdot (42 - Q) - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [18; 42] \end{cases}

Максимум функции прибыли достигается в точке Q^*=18

Прибыль в этой точке равна \pi = 24 \cdot 18 - \frac{18^2}{2} = 270

Монополист выбирает Q и P такие, что индекс Лернера не больше 1/4, только если прибыль без уплаты штрафа не больше прибыли со штрафом:

294 - T_1 \geq 270

T_1 \leq 24

Рассмотрим второй вариант вмешательства. Запишем прибыль монополиста как функцию от цены и будем искать максимум прибыли при ограничении P\leq 10+t, то есть такие значения цены, при которых монополисту не нужно будет платить штраф T_2

\pi = (42 - P)P - \frac{(42 - P)^2}{2} \xrightarrow{P \leq 10 + t} \max

Цена, если бы не было ограничения, была бы равна P^*=28 и так как t всегда не больше 18, то P^*=10+t.

При введении штрафа T_2 монополист будет готов заплатить штраф только если \pi^* - T_2 - \pi_t^* \geq 0 \Rightarrow T_2 \leq \pi^* - \pi_t^*, где \pi^* — максимальная прибыль монополиста в отсутствии любого государственного вмешательства, \pi_t^* — прибыль монополиста, если государство выбирает второй вариант государственного вмешательства.

Так как государство максимизирует сборы, то неравенство выполняется как равенство T_2=\pi^*-\pi_t^*

Государство одновременно выбирает и t, и T_2, тогда оно выберет такое t, чтобы максимизировать T_2, так как задачей государства является максимизация суммы штрафов. Таким образом государство будет стремиться минимизировать \pi_t^*.

Так как государство стремится добиться минимальной прибыли монополиста при помощи потолка t, то оно будет ставить минимальное значение t, так как при этом государство максимально ограничивает монополию, тем самым минимизируя прибыль монополиста. То есть при каждом Q прибыль монополиста при потолке t_1 - \pi(Q|t_1) – меньше прибыли монополиста при потолке t_2 - \pi(Q|t_2) – при любых t_1>t_2.

Если монополист не хочет платить штраф T_2, то установит цену P=10+t=10. Найдем количество товара Q, которое максимизирует прибыль монополиста при цене P = 10:\pi_t^*10Q - \frac{Q^2}{2} \xrightarrow[Q \geq 0]{\max}

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине: Q^*=-10/-1=10

Это значение выпуска подходит под ограничение.

Прибыль монополиста равна: \pi_t^* = 10 \cdot 10 - \frac{10^2}{2} = 50

Тогда государство установит штраф T_2 на уровне T_2=294-50=244

Государство выберет второй вариант вмешательства, так как он приносит большую сумму штрафов.