Оптимальная субсидия на основе данных
В жизни экономистам зачастую неизвестны функции спроса, предложения, полезности –– всё то, что обычно дано в задачах по экономике. Для анализа рынков в реальности используются данные о ценах, объемах, числе фирм, характеристиках товаров и т. д. Здесь мы рассмотрим, как можно (и можно ли) извлечь информацию об оптимальной экономической политике непосредственно из данных о ценах и объемах.
Рассмотрим монополиста, средние издержки производства которого постоянны и равны c, а обратная функция спроса на товар описывается уравнением P=a-bQ, где a>c>0, b>0. Государство хотело бы выплачивать фирме потоварную субсидию за каждую проданную единицу товара так, чтобы выпуск фирмы вырос до уровня, соответствующего рынку совершенной конкуренции с таким же спросом и такими же издержками. Обозначим необходимую для этого ставку субсидии за s^*.
а) ( 2 балла) Найдите s^* как функцию от параметров a, \ b и c.
Монопольный выпуск при наличии субсидии s равен Q(s)=(a-c+s)/(2b), а цена равна P(s)=(a+c-s)/2, поэтому чтобы получить P(s)=c, надо установить субсидию s^*=a-c.
б) ( 4 балла) Государство знает вид функций спроса и издержек, но не знает значений параметров a, \ b, \ c. Вместо этого оно наблюдает изначальный объем на рынке Q_0 (когда субсидии нет). Кроме того, в каждом следующем периоде t=1,2,... оно вводит субсидию по известной ему ставке s_t>0 и наблюдает рыночный объем выпуска Q_t. Цены государство не наблюдает. Верно ли, что в конце некого периода t=0,1,2... у государства накопится достаточно данных, чтобы однозначно определить s^* ? Если да, то найдите минимальное t\geq 0, при котором это так (обозначьте его за t^* ), и приведите формулу, по которой государство может определить s^* как функцию от величин, известных в конце периода t=t^*. Считайте, что ситуация, при которой выпуск фирмы равен максимальному уровню Q_{max}=a/b, заведомо не возникает. Кроме того, фирма максимизирует прибыль в каждом периоде стандартным образом и не пытается, выбирая объем выпуска, стратегически повлиять на будущие ставки субсидии.
Наблюдая рынок при t=0 (без субсидии, т.е. s_0=0 ) и при t=1 (с субсидией s_1 ), можно составить систему уравнений Q_0=(a-c)/(2b), \ Q_1=(a-c+s_1)/(2b). Разделив одно уравнение на другое, мы можем вычислить оптимальную субсидию:
s^*=a-c=s_1\frac{Q_0}{Q_1-Q_0}.
При этом данных только нулевого периода не хватит. Действительно, зная только значение Q_0=(a-c)/(2b), нельзя определить, чему равно a-c.
Следовательно, t^*=1.
Также доказать невозможность нахождения s^* при t=0 можно через контрпример (для разных параметров и разной оптимальной субсидии будут одинаковые выпуски и цены). Например,
\begin{aligned} P &= 10 - Q,\quad c=6, & P^*&=8,\; Q^*=2,\; s^*&=4,\\ P &= 12 - Q,\quad c=4, & P^*&=8,\; Q^*=2,\; s^*&=8. \end{aligned}
в) ( 4 балла) Решите пункт б), если вместо объемов государство наблюдает цены, уплачиваемые потребителями: P_0, P_1,...
Наблюдая рынок при t=0, получаем уравнение (a+c)/2=P_0. Из него нельзя найти a-c. Далее, наблюдая рынок при любой субсидии s, мы видим цену P_0-s/2, которую и так можем вычислить, т.е. новые наблюдения не дают новой информации. Так мы никогда и не узнаем величины s^*=a-c, сколько бы ни наблюдали.
г) ( 2 балла) Решите пункт б), если государство в каждый период времени наблюдает и объемы выпуска, и цены.
Наблюдая рынок только при t=0, мы получаем систему уравнений (a-c)/(2b)=Q_0,(a+c)/2=P_0. Этих данных недостаточно, чтобы определить s^*=a-c. Действительно, если, например, увеличить a и уменьшить c на одну и ту же малую величину x, а затем изменить параметр b так, чтобы (a-c)/(2b)=Q_0 оставалось в силе, то останутся в силе оба уравнения (a-c)/(2b)=Q_0, (a+c)/2=P_0, но оптимальная ставка s^* будет другой (увеличится на 2x ).
Так что придётся установить субсидию s_1 в t=1 и наблюдать P_1 и Q_1. По доказанному в пункте б), только данных об объемах за 2 периода уже будет достаточно. Значит t^*=1.