Интернет на весь год
Вы оплачиваете услуги интернет-провайдера, в начале каждого месяца внося на счёт одну и ту же сумму. Компания предложила оплатить свои услуги в начале года на год вперёд со скидкой s*100\%. Месячная процентная ставка по депозитам составляет r*100\% и не меняется. Вы максимизируете сумму, которая будет лежать на Вашем счету в конце года (изначально у Вас на счету лежит сумма, достаточная для оплаты услуг по любой схеме). Для каждого значения r укажите все значения s, при которых согласиться на предложение провайдера будет выгодно.
Обозначим месячную стоимость услуг провайдера за A. Пусть изначально сумма на счету равна B. Если не пользуемся скидкой и оплачиваем регулярно 12 раз в году, то сумма в конце года будет равна
(B - A)(1 + r)^{12} - A(1 + r)^{11} - A(1 + r)^{10} - \ldots - A(1 + r)
( 2 балла).
По формуле суммы геометрической прогрессии это выражение равно
B(1 + r)^{12} - \frac{(1 + r)^{13} - (1 + r)}{r}
( 1 балл).
Если пользуемся скидкой, то сумма на счёте в конце года будет равна
(B-(1-s)12A)(1+r)^{12}
( 3 балла).
Остаётся сравнить два полученных выражения, A и B сократятся. Cогласиться на предложение будет выгодно, если
12(1 - s) \leq \frac{(1 + r)^{12} - 1}{r(1 + r)^{11}}
( 3 балла)
Строгость или нестрогость знака значения не имеет. Преобразовав, получим ответ:
s \geq 1 - \frac{(1 + r)^{12} - 1}{12r(1 + r)^{11}}
( 1 балл).
Ответ:
s \geq 1 - \frac{(1 + r)^{12} - 1}{12r(1 + r)^{11}}