Задача про Поле Чудес
Компания "П. Карло и сыновья" является монополистом на рынке ремесленных изделий из дерева. Спрос на продукцию компании невелик и описывается уравнением . Общие издержки, в свою очередь, составляют . Недавно в офис компании поступила информация (распространяемая, по-видимому, небезызвестными К. Базилио и Л. Алисой), что если в полночь прийти на поле Ч. в стране Д. и зарыть там золотых, то сами золотые, конечно, исчезнут, зато цены на все факторы производства, используемые фирмой, упадут в раз. Такая перспектива, как и следовало ожидать, сильно заинтересовала менеджеров компании, однако сам П. Карло выразил настороженность: "Даже если это и правда, что-то тут не так". Вам, как главному экономическому советнику П. Карло, предлагается оценить, насколько в действительности выгодным является такое "вложение денег". Если вы считаете, что на поле ходить не стоит, то объясните, почему, в противном случае определите оптимальное значение .
Ответ
Найдем первоначальный оптимум фирмы.
Цены на все факторы производства упадут в раз, значит, общие издержки при каждом объеме выпуска упадут в раз:
Таким образом, если фирма вложит золотых, ей будет выгодно производить ровно единиц продукции. Какова же будет ее прибыль? (Не забудем вычесть потраченные золотых):
Естественно, фирма выберет такое , чтобы эта прибыль была максимальна:
Сравним новую прибыль и первоначальную:
вкладывать не стоит!
Ответ:
Вкладывать не стоит, так как максимальная прибыль при этом меньше первоначальной.
Примечание:
Более продвинутые школьники могли бы решить эту задачу, выписав функцию , и приравняв обе ее частные производные к нулю.