Задача про Поле Чудес
Компания "П. Карло и сыновья" является монополистом на рынке ремесленных изделий из дерева. Спрос на продукцию компании невелик и описывается уравнением Q=9/P^2. Общие издержки, в свою очередь, составляют TC=Q^{1.5}/3. Недавно в офис компании поступила информация (распространяемая, по-видимому, небезызвестными К. Базилио и Л. Алисой), что если в полночь прийти на поле Ч. в стране Д. и зарыть там X золотых, то сами золотые, конечно, исчезнут, зато цены на все факторы производства, используемые фирмой, упадут в X раз. Такая перспектива, как и следовало ожидать, сильно заинтересовала менеджеров компании, однако сам П. Карло выразил настороженность: "Даже если это и правда, что-то тут не так". Вам, как главному экономическому советнику П. Карло, предлагается оценить, насколько в действительности выгодным является такое "вложение денег". Если вы считаете, что на поле ходить не стоит, то объясните, почему, в противном случае определите оптимальное значение X.
Найдем первоначальный оптимум фирмы.
MR = \frac{3}{2\sqrt{Q}} = MC = \frac{\sqrt{Q}}{2} \implies Q = 3, \ \pi = 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}
Цены на все факторы производства упадут в X раз, значит, общие издержки при каждом объеме выпуска упадут в X раз: TC = Q^{1.5}/3X
MR = \frac{3}{2\sqrt{Q}}=MC=\frac{\sqrt{Q}}{2X}\implies Q = 3X
Таким образом, если фирма вложит X золотых, ей будет выгодно производить ровно 3X единиц продукции. Какова же будет ее прибыль? (Не забудем вычесть потраченные X золотых):
\pi(X) = 3\sqrt{3X} - \sqrt{3X} - X = 2\sqrt{3X} - X
Естественно, фирма выберет такое X, чтобы эта прибыль была максимальна:
\pi(X) = 2\sqrt{3X} - X \to \text{max} \implies X = 3, \ Q = 9, \ P = 1
Сравним новую прибыль и первоначальную:
\pi_{\text{new}} = 2\sqrt{3 \cdot 3} - 3 = 3 < 2\sqrt{3} \impliesвкладывать не стоит!
Ответ:
Вкладывать не стоит, так как максимальная прибыль при этом меньше первоначальной.
Примечание:
Более продвинутые школьники могли бы решить эту задачу, выписав функцию \pi(Q,X), и приравняв обе ее частные производные к нулю.