Задача 3. МЭ ПОШ – 2019 (10-11 класс)
На рынке совершенной конкуренции спрос и предложение линейны и равновесное Q=20. Государство вводит товарный налог по ставке t=10 и на производителя и на потребителя (то есть в итоге государство собирает два налога). Найдите эластичность кривой Лаффера (по ставке налога) в точке, где t=5 (также собирается два налога), если известно что новое равновесие (при t=10 ) в точке Q=10 .
В первую очередь стоит заметить, что введение товарного налога на производителей эквивалентно введению товарного налога покупателей (и наоборот). Это напрямую следует из экономического смысла товарного налога, разница между ценой покупателя и ценой производителя в точности равна сумме всех товарных налогов, если других налогов нет (ведь это разница между тем, что заплатили покупатели и тем, что получили производители). За указание этого факта участник получает +1 балла. Если участник решил задачу не опираясь на этот факт, но довел решение до конца, то также получает полный балл. Зная это можно записать функции спроса и предложения и вывести кривую Лафера:
\begin{cases} Q = a - b(p + 2t) \\ Q = c + dp \end{cases} \Rightarrow p = \frac{a - c - 2tb}{b + d}, \quad Q = c + d\frac{a - c - 2tb}{b + d}
Tx = tc + dt\frac{a - c - 2tb}{b + d}
Мы доказали, что кривая Лаффера для линейных спроса и предложения является параболой с ветвями вниз относительно t и относительно Q, так как между Q и t существует линейная зависимость ( +3 балла).
Из условия известно, что равновесие на рынке достигается при Q=20, а значит налоговые сборы при таком количестве равны нулю, также известно, что налоговые сборы равны нулю при Q=0 и t=0. Значит у кривой Лаффера всего два корня 0 и 20, а максимум налоговых сборов достигается при Q=10. В условии сказано, что такое количество на рынке достигается при t=10. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что, налоговые сборы являются параболой относительно t, которая проходит через точку (0,0) и достигает максимального значения при t=10. Тогда кривую Лаффера можно записать следующим образом: Tx=20tx-xt^2 ( +3 балла).
Тогда можно записать эластичность налоговых сборов t=5 :
E_{t}^{Tx} = \frac{Tx'}{Tx} \cdot \frac{t}{1_x} \quad ( +2 балл).
E_{t}^{Tx} = (20x - 2xt) \frac{t}{20tx - xt^2} = \frac{20 - 2t}{20 - t} = \frac{2}{3} \quad ( +2 балл).