Рассмотрим обмен между двумя потребителями – «первым» и «вторым». Первый имеет функцию полезности U_1, второй – U_2. Предположим, в этом обмене существует равновесная цена хлебной карточки P_X, представляющая собой число картофельных карточек, которое обменивается на одну хлебную. Поскольку мы выражаем все цены в картофельных карточках, то, разумеется, цена картофельной карточки равна одной картофельной карточке. То есть P_Y=1.

Предельная норма замещения картофеля хлебом для первого потребителя: MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{Y_1}{X_1}. В тот момент, когда он получил 100 хлебных и 240 картофельных карточек, MRS_{XY} = \frac{Y_1}{X_1} = \frac{240}{100} = 2,4. То есть в начальный момент обмена первый потребитель при сохранении прежнего уровня полезности может поменять одну хлебную карточку на 2,4 картофельных. А если он поменяет на одну хлебную карточку больше, чем на 2,4 картофельных, то общая полезность его набора благ увеличится.

Предельная норма замещения картофеля хлебом для второго потребителя: MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{3X_2^2Y_2}{X_2^3} = \frac{3Y_2}{X_2}. В момент получения карточек MRS_{XY} = \frac{3Y_2}{X_2}=\frac{3 * 240}{100} = 7,2. Это значит, что в данный момент при сохранении прежнего уровня полезности второй потребитель может поменять 7,2 картофельных карточки на одну хлебную. Если же он получит хлебную карточку в обмен на меньшее количество картофельных, то его общая полезность тоже увеличится.

Таким образом, существует такое значение P_X\in(2,4;7,2), при котором обмен выгоден для обоих потребителей. То есть первый потребитель отдаст второму некоторое количество (скажем, z ) хлебных карточек, а второй потребитель отдаст первому картофельные карточки общим числом P_X z.

Оптимум первого и второго потребителей достигается при условии: MRS_{XY} = \frac{P_X}{P_Y} = P_X.

\frac{Y_1}{X_1} = \frac{3Y_2}{X_2} = P_X. \frac{240 + P_X z}{100 - z} = \frac{3(240 - P_X z)}{100 + z} = P_X.

\begin{cases} 240 + P_X z = P_X (100 - z) \\ 3(240 - P_X z) = P_X (100 + z) \end{cases} \begin{cases} 2P_X z - 100P_X + 240 = 0 \\ -4P_X z - 100P_X + 720 = 0 \end{cases}

\begin{cases} 4P_X z - 200P_X + 480 = 0 \\ -4P_X z - 100P_X + 720 = 0 \end{cases}

Складывая последние два уравнения, находим: 300P_X=1200. P_X=4.

Ответ: 4.