S058
Каждая ученица монгольской балетной школы получает в день 600 тугриков на приобретение продуктов питания – белков, жиров и углеводов. Будем предполагать, что все эти деньги используются по назначению. Один грамм белков стоит 5 тугриков, жиров – 2 тугрика, углеводов – 1 тугрик. Ученицы должны придерживаться строгой диеты, согласно которой суммарный вес всех съедаемых за день продуктов должен быть равен в точности 300 граммам. Функция полезности каждой ученицы имеет вид: U=XYZ, где X, \ Y, \ Z – соответственно объемы съедаемых за день белков, жиров и углеводов в граммах.
Сколько граммов каждого продукта будет съедать за день ученица?
Бюджетное ограничение: 600 = 5X + 2Y + Z. \ (1)
Ограничение, предписываемое диетой: 300 = X + Y + Z. \ (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем: 300 = 4X + Y. \quad Y = 300 – 4X.
Из уравнения (2) Z = 300 – X – Y = 300 – X – (300 – 4X) = 3X
Функция полезности U = XY Z = X (300 – 4X) 3X = 900X^2 – 12X^3.
Максимум функции полезности достигается при условии: U' = 1800X – 36X^2 = 0. \quad X = 50. \quad Y = 300 – 4X = 100. \quad Z = 3X = 150.
Ответ: 50 грамм белков, 100 грамм жиров, 150 грамм углеводов.