Продление с экономией
Марфа взяла в кредит на 2 года сумму S рублей по ставке r_1 (каждый год долг увеличивается в 1+r_1 раз). Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов, причем выплаты осуществляются так, что каждый год платеж одинаков. Этот платеж каждый год вычитается из суммы долга после начисления процентов. Например, если изначальная сумма долга равна S, платеж равен X, а ставка процента равна (100r)\%, то долг на конец первого года будет равен S_1=S_0(1+r)-X. Платеж Xподбирается так, чтобы в конце срока кредита долг Марфы был равен нулю.
a) Найдите сумму выплат по кредиту Марфы. Ответ выразите через r_1, S.
\left( S(1 + r_1) - X \right)\left(1 + r_1 \right) - X = 0
X = \frac{S(1 + r_1)^2}{2 + r_1}
Выплаты : 2X = \frac{2S(1 + r_1)^2}{2 + r_1}
b) За первый год кредита процентные ставки по ним сильно упали, поэтому Марфе после первого платежа предложили выплатить кредит по новой схеме. Вся оставшаяся сумма долга после первого платежа (S'=S(1+r)-X если соответствовать обозначениям примера a) теперь считается новым кредитом на 2 года с такими же условиями как и изначальный, но по новой ставке r_2. Выразите новую сумму платежей Марфы (с учетом первого платежа по изначальному кредиту). Ответ выразите через r_1, r_2, S.
Второй долг:
S' = S(1 + r_1) - X
S' = S(1 + r_1) - \frac{S(1 + r_1)^2}{2 + r_1} = S(1 + r_1) \left(1 - \frac{1 + r_1}{2 + r_1}\right) = \frac{S(1 + r_1)}{2 + r_1}.
Новый платеж :
Y = S' \cdot \frac{(1 + r_2)^2}{2 + r_2} = \frac{S(1 + r_1)(1 + r_2)^2}{(2 + r_1)(2 + r_2)}.
Сумма выплат:
X + 2Y = \frac{S(1 + r_1)^2}{2 + r_1} + \frac{2S(1 + r_1)(1 + r_2)^2}{(2 + r_1)(2 + r_2)} = S\frac{(1 + r_1)}{2 + r_1}((1 + r_1) + \frac{2(1 + r_2)^2}{2 + r_2})
c) Найдите условие на ставки r_1, r_2, при которых кредит с продлением выгоднее, чем первоначальный вариант выплат.
Сравним выплаты:
\frac{2S(1 + r)^2}{2 + r} vs S\frac{(1 + r_1)}{2 + r_1}((1 + r_1) + \frac{2(1 + r_2)^2}{2 + r_2})
Сократим:
2(1 + r_1) \quad \text{vs} \quad 1 + r_1 + \frac{2(1 + r_2)^2}{2 + r_2}
1 + r_1 \quad \text{vs} \quad \frac{2(1 + r_2)^2}{2 + r_2}