Неформальные контракты в команде
Виктор, владелец игрового сайта, нанял тестировщиков Анну и Бориса. Их трудовые договоры предусматривают фиксированную зарплату. Перед ними стоит задача проверить корректность работы программного обеспечения сайта: Анна должна протестировать клиентскую часть, а Борис –– серверную. Как клиентская, так и серверная часть с равными шансами может работать корректно или с ошибками, причём независимо от другой части, т.е. все четыре возможных варианта корректной/ошибочной работы двух частей сайта равновероятны. Проблема состоит в том, что у Виктора нет возможности наблюдать, насколько добросовестно Анна и Борис выполняют свои задачи. Тот из них, кто работает добросовестно, несёт от своих усилий издержки, эквивалентные 15 тыс. руб., и если ошибки есть, он их найдет и исправит. Но вместо этого тестировщик может отлынивать –– ничего не проверять, а просто сообщить, что ошибок не обнаружено. Если ошибки останутся в рабочей версии сайта, то сайт будет работать некорректно, и Виктор потеряет на этом 80 тыс. руб. Понимая это, Виктор обещает Анне премию bA, а Борису –– премию bB с условием, что премия выплачивается тестировщику, только если тот находит ошибку (предполагается, что Виктор может это наблюдать). Но здесь имеется другая проблема: премии не прописаны в трудовом договоре, это неформальное соглашение между сторонами. Виктор может его нарушить и не выплатить премию, –– это не будет грозить ему судебным разбирательством. В этом случае, кого бы из тестировщиков ни обманули, одного или обоих, и Анна, и Борис увольняются по собственному желанию. Виктор в случае их ухода потеряет ценность дальнейшего сотрудничества с ними, составляющую 50 тыс. руб. Даже если работник увольняется, он успевает получить свою фиксированную зарплату, прописанную в договоре –– не выплачивать ее Виктор не может. Последовательность действий такова:
-
Виктор предлагает Анне и Борису премии (будем считать, что каждая премия известна обоим);
-
Анна и Борис одновременно и независимо принимают решение, работать или отлынивать. В этот момент они не знают, есть ли ошибки в сайте;
-
Неотлынивающие работники выявляют и исправляют ошибки, если они есть;
-
Виктор платит премии по результатам работы Анны и Бориса или отказывается платить. Также предполагается, что:
- Анна, Борис и Виктор максимизируют математическое ожидание3 своих доходов с учётом издержек;
- несмотря на вышеуказанные издержки, проект Виктора достаточно прибыльный, чтобы приносить ему положительную прибыль в любом случае;
- если тестировщику безразлично, работать добросовестно или отлынивать, тестировщик работает добросовестно. Также тестировщики не уходят от Виктора, если он их не обманул.
3Если некая величина x принимает n значений x1, x2,..., xn c вероятностями p1, p2,..., pn, то ее математическое ожидание по определению равно x1p1 + x2p2 +...+ xnpn.
а) (1 балл) Если Анна ожидает, что премия bA будет выплачена, какой должна быть эта премия, чтобы стимулировать Анну добросовестно искать ошибки?
б) (2 балла) Может ли Виктор пообещать тестировщикам премии, стимулирующие их искать ошибки, а самого Виктора –– никогда не обманывать работников с выплатой премий?
в) (3 балла) Допустим, Виктор предлагает премию только Анне, bB=0. Может ли Виктор пообещать Анне премию, стимулирующую ее искать ошибки, а самого Виктора –– не обманывать Анну с выплатой премии? Если да, то какое значение bA оптимально для Виктора при этих условиях? Выиграет ли Виктор по сравнению с ситуацией, когда он вообще не предлагает премии?
г) (5 баллов) Теперь рассмотрим случай, когда премия тестировщика может зависеть не только от его результатов, но и от результатов другого тестировщика. А именно, предположим, что если только один тестировщик находит ошибку, то он получает премию в размере b1, а если оба, то каждый получает премию в размере b2. Определите все пары премий (b1, b2 ), которые стимулируют Анну и Бориса добросовестно искать ошибки4, а Виктора –– никогда не обманывать работников с выплатой премий. Какие из этих пар премий (b1, b2 ) оптимальны для Виктора? Выиграет ли Виктор по сравнению с пунктом в)?
д) (1 балл) Существует ли среди оптимальных пар (b1, b2 ) в пункте г) такая, при которой Виктор по сути формирует фиксированный премиальный фонд, который поровну распределяется между нашедшими ошибки?
4**Точнее, каждому должно быть выгодно работать добросовестно, если другой тестировщик тоже работает добросовестно.
а) Если Анна работает добросовестно, то она несёт издержки 15 тыс. и с вероятностью 1/2 получает её ожидаемый доход равен ( / 2) − 15. Если Анна отлынивает, то получает 0. Следовательно, премия bA стимулирует работать, если bi 30.
б) Если оба тестировщика нашли ошибки, то Виктор должен предложить премии в сумме не менее 30 + 30 = 60 тыс. Но тогда ему выгодно обмануть тестировщиков, потеряв лишь 50 тыс. Следовательно, ответ –– «нет».
в) Если Виктор премирует только Анну, то имеет смысл обещать ей премию 30 тыс. Такую премию Виктор действительно будет платить, так как это лучше, чем потерять 50 тыс. от ухода тестировщиков. Несмотря на остающуюся вероятность 1/2 некорректной работы сайта, такое решение будет выгодным для Виктора: он потеряет тыс., а если вообще не будет предлагать премии, то потеряет 3/4 80 = 60 тыс.
г) Анна и Борис будут работать, если
$\frac{1}{4}b_1 + \frac{1}{4}b_2 \geq 15$
т.е. при b1 + b2 60. Если премия полагается только Анне, Виктор не будет её обманывать при b1 50, и аналогично для Бориса. Если же премия полагается обоим, то Виктор не будет их обманывать при 2b2 50, т.е. при b2 25. Из множества допустимых пар (b1,b2 ), удовлетворяющих неравенствам b1 + b2 60, b1 50, b2 25, нужно выбрать те, которые минимизируют ожидаемые расходы Виктора, составляющие . Эта функция достигает при заданных ограничениях минимума, равного 30, когда b1+b2 = 60, b1 [35,50] и, соответственно, b2 [10,25]. Это выгоднее для Виктора, чем схема в п. в), при которой его потери составляют 55 тыс.
д) Можно сформировать премиальный фонд в 40 тыс., т.е. назначить b1 = 40, b2 = 20. Это одно из оптимальных решений.