Неформальные контракты в команде

Виктор, владелец игрового сайта, нанял тестировщиков Анну и Бориса. Их трудовые договоры предусматривают фиксированную зарплату. Перед ними стоит задача проверить корректность работы программного обеспечения сайта: Анна должна протестировать клиентскую часть, а Борис –– серверную. Как клиентская, так и серверная часть с равными шансами может работать корректно или с ошибками, причём независимо от другой части, т.е. все четыре возможных варианта корректной/ошибочной работы двух частей сайта равновероятны. Проблема состоит в том, что у Виктора нет возможности наблюдать, насколько добросовестно Анна и Борис выполняют свои задачи. Тот из них, кто работает добросовестно, несёт от своих усилий издержки, эквивалентные 15 тыс. руб., и если ошибки есть, он их найдет и исправит. Но вместо этого тестировщик может отлынивать –– ничего не проверять, а просто сообщить, что ошибок не обнаружено. Если ошибки останутся в рабочей версии сайта, то сайт будет работать некорректно, и Виктор потеряет на этом 80 тыс. руб. Понимая это, Виктор обещает Анне премию b_A, а Борису –– премию b_B с условием, что премия выплачивается тестировщику, только если тот находит ошибку (предполагается, что Виктор может это наблюдать). Но здесь имеется другая проблема: премии не прописаны в трудовом договоре, это неформальное соглашение между сторонами. Виктор может его нарушить и не выплатить премию, –– это не будет грозить ему судебным разбирательством. В этом случае, кого бы из тестировщиков ни обманули, одного или обоих, и Анна, и Борис увольняются по собственному желанию. Виктор в случае их ухода потеряет ценность дальнейшего сотрудничества с ними, составляющую 50 тыс. руб. Даже если работник увольняется, он успевает получить свою фиксированную зарплату, прописанную в договоре –– не выплачивать ее Виктор не может. Последовательность действий такова:

1. Виктор предлагает Анне и Борису премии (будем считать, что каждая премия известна обоим);

2. Анна и Борис одновременно и независимо принимают решение, работать или отлынивать. В этот момент они не знают, есть ли ошибки в сайте;

3. Неотлынивающие работники выявляют и исправляют ошибки, если они есть;

4. Виктор платит премии по результатам работы Анны и Бориса или отказывается платить. Также предполагается, что:

1. Анна, Борис и Виктор максимизируют математическое ожидание³ своих доходов с учётом издержек;
2. несмотря на вышеуказанные издержки, проект Виктора достаточно прибыльный, чтобы приносить ему положительную прибыль в любом случае;
3. если тестировщику безразлично, работать добросовестно или отлынивать, тестировщик работает добросовестно. Также тестировщики не уходят от Виктора, если он их не обманул.

³Если некая величина x принимает n значений x1, x2,..., xn c вероятностями p1, p2,..., pn, то ее математическое ожидание по определению равно x1p1 + x2p2 +...+ xnpn.

а) (1 балл) Если Анна ожидает, что премия b_A будет выплачена, какой должна быть эта премия, чтобы стимулировать Анну добросовестно искать ошибки?

б) (2 балла) Может ли Виктор пообещать тестировщикам премии, стимулирующие их искать ошибки, а самого Виктора –– никогда не обманывать работников с выплатой премий?

в) (3 балла) Допустим, Виктор предлагает премию только Анне, b_B=0. Может ли Виктор пообещать Анне премию, стимулирующую ее искать ошибки, а самого Виктора –– не обманывать Анну с выплатой премии? Если да, то какое значение b_A оптимально для Виктора при этих условиях? Выиграет ли Виктор по сравнению с ситуацией, когда он вообще не предлагает премии?

г) (5 баллов) Теперь рассмотрим случай, когда премия тестировщика может зависеть не только от его результатов, но и от результатов другого тестировщика. А именно, предположим, что если только один тестировщик находит ошибку, то он получает премию в размере b1, а если оба, то каждый получает премию в размере b2. Определите все пары премий (b1, b2 ), которые стимулируют Анну и Бориса добросовестно искать ошибки⁴, а Виктора –– никогда не обманывать работников с выплатой премий. Какие из этих пар премий (b1, b2 ) оптимальны для Виктора? Выиграет ли Виктор по сравнению с пунктом в)?

д) (1 балл) Существует ли среди оптимальных пар (b1, b2 ) в пункте г) такая, при которой Виктор по сути формирует фиксированный премиальный фонд, который поровну распределяется между нашедшими ошибки?

⁴Точнее, каждому должно быть выгодно работать добросовестно, если другой тестировщик тоже работает добросовестно.