а) Если Анна работает добросовестно, то она несёт издержки 15 тыс. и с вероятностью 1/2 получает bA \Rightarrow её ожидаемый доход равен (bA / 2) − 15. Если Анна отлынивает, то получает 0. Следовательно, премия bA стимулирует работать, если bi \geq 30.

б) Если оба тестировщика нашли ошибки, то Виктор должен предложить премии в сумме не менее 30 + 30 = 60 тыс. Но тогда ему выгодно обмануть тестировщиков, потеряв лишь 50 тыс. Следовательно, ответ –– «нет».

в) Если Виктор премирует только Анну, то имеет смысл обещать ей премию 30 тыс. Такую премию Виктор действительно будет платить, так как это лучше, чем потерять 50 тыс. от ухода тестировщиков. Несмотря на остающуюся вероятность 1/2 некорректной работы сайта, такое решение будет выгодным для Виктора: он потеряет \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 30 + \frac{1}{4} \cdot 80 + \frac{1}{4} \cdot (30 + 80) = 55 тыс., а если вообще не будет предлагать премии, то потеряет 3/4 \cdot 80 = 60 тыс.

г) Анна и Борис будут работать, если

\frac{1}{4}b_1 + \frac{1}{4}b_2 \geq 15

т.е. при b1 + b2 \geq 60. Если премия полагается только Анне, Виктор не будет её обманывать при b1 \leq 50, и аналогично для Бориса. Если же премия полагается обоим, то Виктор не будет их обманывать при 2b2 \leq 50, т.е. при b2 \leq 25. Из множества допустимых пар (b1,b2 ), удовлетворяющих неравенствам b1 + b2 \geq 60, b1 \leq 50, b2 \leq 25, нужно выбрать те, которые минимизируют ожидаемые расходы Виктора, составляющие \frac{1}{4}b_1 + \frac{1}{4}b_1 + \frac{1}{4} \cdot 2b_2 = \frac{b_1 + b_2}{2}.. Эта функция достигает при заданных ограничениях минимума, равного 30, когда b1+b2 = 60, b1 \in [35,50] и, соответственно, b2 \in [10,25]. Это выгоднее для Виктора, чем схема в п. в), при которой его потери составляют 55 тыс.

д) Можно сформировать премиальный фонд в 40 тыс., т.е. назначить b1 = 40, b2 = 20. Это одно из оптимальных решений.