Свежий взгляд на "старую" максимизацию
Функция полезности от потребления сладкого для Вовы Гореплюйкина имеет вид , где – вес съеденных шоколадок «Сладкинс» в сотнях грамм, а – вес съеденных конфет «БорБориса» в сотнях грамм.
Друг Вовы, незабвенный Юра Сладкоежкин, посоветовал ему посетить магазин «Сладкие фантазии», который находится на перекрестке улицы Сладострастия и проспекта Нетерпения, так как там нынче проходит особенная акция: вместо того, чтобы платить за шоколадки «Сладкинс» 15 афро, можно отдать магазину 27 афро и покупать те же шоколадки по цене 6 афро за сто грамм.
Цена же «БорБорисок» остается неизменной и равной 10 афрам. Свои ценные указания Юрий снабдил еще и 70-ью афрами, которые стали единственным денежным подарком Вовы на день рождения (остальные деньги он потратил на празднование).
Найдите уравнение бюджетного ограничения Вовы Гореплюйкина и посоветуйте ему, как же лучше распорядиться своими деньгами.
Ответ
Для решения задачи необходимо, прежде всего, разобраться с тем, что же из себя представляет кривая бюджетного ограничения.
Действительно, если Вова не пользуется акцией, то записываем стандартное . Если же пользуется, то из 15 превращается в 6, а снижается на 27 (так как тепер у Вовы меньше денег для покупок).
Какую из функций выбрать? Очевидно, что когда-то выгоднее пользоваться акцией, а когда-то нет. Но когда? Изобразим графики этих двух кривых. Из рисунка становится видно, что до кривая номер 1 (без использования акции) лежит выше кривой номер 2, а при - ниже.
Логично предположить, что при некотором значении , Вова будет стараться так использовать свои ограниченные финансовые ресурсы, чтобы максимизировать количество купленного товара . Значит акцией выгодно пользоваться, лишь покупая больше 3-ех единицы товара .
Итак, кривая бюджетного ограничения имеет следующий вид: , при , и , .
Ну а теперь займемся собственно оптимизацией. Заметим, что кривые безразличия имеют вид . Поскольку , то они выпуклы вниз, и поэтому оптимум будет достигаться в точке касания кривой бюджетного ограничения и и наивысшей возможной кривой безразличия, при условии, что и будут в случае касания положительными величинами.
Нетрудно заметить, что кривые безразличия могут касаться обоих участков нашего бюджетного огранчиения. Так как монотонна и каждая следующая кривая безразличия получена из предыдущей путем вертикального переноса, то каждое свое значение производная любой из этих кривых принимает единожды и при одном и том же значении . Значит решаем два раза уравнение равенства производных для кривой безразличия и 2-ух разных участков, в первом случае , же, соответственно, 4. Во втором случае , . Все числа попали на свои участки и являются строго положительными.
После подстановки в функцию полезности убеждаемся, что Вове все же следует использовать акцию.
Ответ:
500 грамм шоколадок и 130 грамм конфет