Для решения задачи необходимо, прежде всего, разобраться с тем, что же из себя представляет кривая бюджетного ограничения.

Действительно, если Вова не пользуется акцией, то записываем стандартное P_x * X + P_y * Y = I. Если же пользуется, то P_x из 15 превращается в 6, а I снижается на 27 (так как тепер у Вовы меньше денег для покупок).

Какую из функций выбрать? Очевидно, что когда-то выгоднее пользоваться акцией, а когда-то нет. Но когда? Изобразим графики этих двух кривых. Из рисунка становится видно, что до X<3 кривая номер 1 (без использования акции) лежит выше кривой номер 2, а при X>3 - ниже.

Логично предположить, что при некотором значении X, Вова будет стараться так использовать свои ограниченные финансовые ресурсы, чтобы максимизировать количество купленного товара Y. Значит акцией выгодно пользоваться, лишь покупая больше 3-ех единицы товара X.

Итак, кривая бюджетного ограничения имеет следующий вид: 7.5X + 5Y = 35, при X < 3, и 3X + 5Y = 21.5, X \geq 3.

Ну а теперь займемся собственно оптимизацией. Заметим, что кривые безразличия имеют вид Y = U - 3\ln{X}. Поскольку Y'' > 0, то они выпуклы вниз, и поэтому оптимум будет достигаться в точке касания кривой бюджетного ограничения и и наивысшей возможной кривой безразличия, при условии, что X и Y будут в случае касания положительными величинами.

Нетрудно заметить, что кривые безразличия могут касаться обоих участков нашего бюджетного огранчиения. Так как Y' монотонна и каждая следующая кривая безразличия получена из предыдущей путем вертикального переноса, то каждое свое значение производная любой из этих кривых принимает единожды и при одном и том же значении X. Значит решаем два раза уравнение равенства производных для кривой безразличия и 2-ух разных участков, в первом случае X=2, Y же, соответственно, 4. Во втором случае X=5, Y=1,3. Все числа попали на свои участки и являются строго положительными.

После подстановки в функцию полезности убеждаемся, что Вове все же следует использовать акцию.

Ответ:

500 грамм шоколадок и 130 грамм конфет