Задание 6. Олимпиада Колокольникова 2024 (7 класс)
Я запрещаю вам быть монополистом!
Фирма-монополист работает на рынке со спросом Q=70-4P и имеет издержки производства TC=Q^2+4Q.
а) ( 6 баллов) Найдите равновесную цену и объем, которые установятся на рынке. В государственные органы сообщили, что монополия - это плохо. Тогда государство решило ввести потоварную субсидию по ставке s=10, размер которой выбрали приблизительно, так как в штате не было умных экономистов.
Запишем функцию прибыли монополиста.
\Pi = TR - TC = PQ - TC = \frac{70 - Q}{4}Q - Q^2 - 4Q = -\frac{5Q^2}{4} + 13{,}5Q.
( 3 балла за верное выражение для максимизации)
График этой функции - парабола ветвями вниз, следовательно, в силу свойств параболы максимум функции достигается в вершине, то есть оптимальным Q будет Q = \frac{-13{,}5}{2 \times \left(-\frac{5}{4}\right)} = 5{,}4. ( 2 балла), P = \frac{70 - 5{,}4}{4} = 16{,}15. ( 1 балл)
б) ( 6 баллов) Найдите новое равновесие на рынке.
Умник Тимофей посетил несколько лекций по экономике и понял, что наибольшее общественное состояние достигается при совершенной конкуренции. Студент посчитал, что если бы фирма действовала как совершенный конкурент, то на рынке установилась бы цена P=16.
Запишем функцию прибыли монополиста с учетом субсидии s=10.
( 1 балл за правильно добавленное слагаемое, зависящее от s )
\Pi = TR - TC + sQ = PQ - TC + sQ = (P + s)Q - TC = \left( \frac{70 - Q}{4} + s \right)Q - Q^2 - 4Q =-\frac{5Q^2}{4} + \left(13{,}5 + s\right)Q = -\frac{5Q^2}{4} + 23{,}5Q.
( 2 балла за верное выражение для максимизации)
График этой функции - парабола ветвями вниз, следовательно, в силу свойств параболы максимум функции достигается в вершине, то есть оптимальным Q будет Q = \frac{-23{,}5}{2 \times \left(-\frac{5}{4}\right)} = 9{,}4. ( 2 балла), P = \frac{70 - 9{,}4}{4} = 15{,}15 ( 1 балл).
в) ( 8 баллов) Найдите величину субсидии, которую должно ввести государство, чтобы достичь наибольшего общественного благосостояния.
Для справки.
Максимум функции вида ax^2+bx+c=0, где a<0, достигается при x^*=\frac{-b}{2a}.
Запишем функцию прибыли монополиста с учетом субсидии s, которую монополист считает заданным числом ( 2 балла)
\Pi = TR - TC + sQ = PQ - TC + sQ = (P + s)Q - TC = \left( \frac{70 - Q}{4} + s \right)Q - Q^2 - 4Q = -\frac{5Q^2}{4} + (13{,}5 + s)Q.
( 2 балла за верное выражение для максимизации)
График этой функции - парабола ветвями вниз, следовательно, в силу свойств параболы максимум функции достигается в вершине, то есть оптимальным Q будет
Q = \frac{-(13{,}5 + s)}{2 \times \left(-\frac{5}{4}\right)} = 5{,}4 + 0{,}4s ( 2 балла)
Так как P=16, то Q=70-4*16=6. Тогда 5,4+0,4s=6=>0,4s=0,6=>s=1,5 ( 2 балла)