Обмены валют
В стране Лимпопо есть четыре национальные валюты: бананы (B), кокосы (K), еноты (\epsilon) и доллары (\$). Ниже приведены курсы обмена этих валют (одинаковые во всех обменных пунктах страны).
Число на стрелке показывает, сколько единиц, указанных в конце стрелки, можно получить за единицу, указанную в начале стрелки. Например одного енота можно обменять на 6 бананов или на 11 кокосов, один доллар на 10 кокосов а один кокос - на 1/15 доллара.
(При решении задачи любую валюту можно
дробить на сколь угодно мелкие части: например обменять 101/43 енота на 606/43 банана). Обмены \$ в \epsilon и обратно, \$ в B и обратно в Лимпопо запрещены.
Перевозить деньги через границу Лимпопо можно только в долларах. Дядя Вася приехал в Лимпопо, имея при себе 100 долларов. Он может выполнять указанные выше операции обмена валют неограниченное количество раз, но не имеет никаких других источников дохода. Может ли он разбогатеть и увезти из Лимпопо 200 долларов? Если да — объясните, как. Если нет, докажите.
Отметим, что в условии задачи не сказано явно, требуется ли получить не менее 200\$, или ровно 200\$. Ответ положительный для обеих трактовок условия. Хотя понятно, что решение для случая "ровно 200\$ " решает так же и второй случай, мы приведем разные решения для обоих случаев.
а) Нужно получить не менее 200\$. Рассмотрим цикл K \rightarrow \epsilon \rightarrow B \rightarrow K. Если обменивать деньги по такому циклу, то количество денег увеличивается. Действительно, если изначально было x кокосов, то они обмениваются на x/11 енотов, которые в свою очередь обмениваются на 6x/11 бананов, которые обмениваются на 12x/11 кокосов. Таким образом, из x кокосов получается 12x/11 кокосов.
Стратегия дяди Васи такова: вначале обменять 100 долларов на 1000 кокосов. Затем обменивать их по указанному выше циклу, пока не получится более 3000 кокосов. Для этого цикл придется пройти n раз, где n таково, что (\frac{12}{11})^n>3. Поскольку \frac{12}{11}>1, это неравенство равносильно неравенству n > \log_{12/11} 3. Очевидно, натуральное nn, удовлетворяющее этим условиям, существует. Получившиеся в результате кокосы следует обменять на доллары, которых получится не менее 3000/12=200.
б) Нужно получить ровно 200\$. Рассмотрим тот же цикл, что в пункте а), но будем каждый раз запускать по обменному циклу ровно 11 кокосов, т. е. прибыльный 12 -й кокос будем каждый раз откладывать. Тогда, сделав n циклов, мы можем заработать ровно n кокосов. Теперь стратегия, например, такова: обмениваем 100\$ на 1000 кокосов, берем 11 из этой 1000 и производим n раз цикл, в результате чего получаем 1000+n кокосов. Если n=2000, то в результате получим 3000 кокосов, которые обменяем обратно на 200\$.
Ответ:
Может.
Примечание:
Критерии
(-/+) Найден цикл, который увеличивает капитал, и более не сделано никаких значимых продвижений.
(+/-) Приведён алгоритм, дающий экспоненциальный рост капитала, однако не приведено доказательство того, что этот алгоритм когда-либо достигнет нужной суммы, или приведено неверное доказательство, например, неограниченность капитала "выведена" из его возрастания.
(+) Задача полностью решена. В случае приведения алгоритма с линейным приростом капитала обоснования того, что нужная сумма будет достигнута, не требуется.