СуперЗВЕРЬкет
В маленьком городе N существуют два магазина для животных: «СуперМУРкет» и «СуперГАВкет». (далее МУР и ГАВ). Эти магазины продают корм для собак. Издержки МУР на производство TC_{соб} = 9Q^2, а издержки ГАВ TC_{соб}=Q^2. Спрос на корм для собак Q=200-P. Фирмы конкурируют по Курно на рынке собак.
А). Найдите сколько товара произведут фирмы.
Б). Теперь мэрия решила вмешаться. В мэрии любят собак, поэтому они решили выплатить субсидию 200 фирме ГАВ или 100 МУР, если эта фирма произведёт больше корма для собак чем конкурент. (При равенстве кол-ва корма обеим фирмам выплатят оговорённую сумму). Фирмы обладают полной информацией друг о друге. Проиллюстрируйте кривые реакции фирм в координатах Q_1 и Q_2 и задайте их аналитически.
А) Найдём равновесие по Курно. Пусть МУР – первая фирма, ГАВ – вторая. Запишем прибыль первой фирмы \pi=(200-q_1-q_2)q_1-9q_1^2. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине, приняв продукцию второй фирмы за константу. q_1=\frac{200-q_2}{20}. Кривая реакции первой фирмы. Запишем прибыль второй фирмы. \pi=(200-q_1-q_2)q_2-q_2^2. Снова парабола ветвями вниз, максимум в вершине. q_2=\frac{200-q_1}{4}. Кривая реакции второй фирмы. Равновесие по Курно лежит на пересечении кривых реакций, решив систему из двух уравнений (кривых реакций) получаем q_2=3800/79, q_1=600/79.
Б) Подумаем, как будут выглядеть кривые реакции. Очевидно, что в кривые реакции будут входить точки, которые одновременно лежат на кривой реакции найденной в пункте А), и при этом выполняется условие получения субсидии (то есть количество больше, чем у конкурента). Это участок кривой реакции до пересечения с прямой q_1=q_2. Далее будет отрезок принадлежащий этой прямой. В данном случае выгоды от субсидии будут перекрывать издержки от неоптимального количества. И далее последует возвращение к старой кривой реакции, когда издержки от неоптимального количества превысят субсидию. Найдём теперь их в формальном виде. Сделаем на примере первой фирмы.
Найдём точку пересечения с q_1 = q_2 \cdot q_1 = \frac{200 - q_1}{20} \rightarrow q_1 = \frac{200}{21}. Найдём, до какой точки идёт участок q_1=q_2. Для этого приравняем прибыль с субсидией и равенством производства. 200q_2 - 11q_2^2 + 100 = \frac{(200 - q_2)^2}{40}. Решим уравнение и увидим, что подходит только больший корень (так как количество должно быть больше, чем 200/11. Отсюда q_1 = \frac{20(10 + \sqrt{10})}{21} = q^*_1. Значит кривая реакции первой фирмы имеет вид
q_1 = \begin{cases} \frac{200 - q_2}{20}, & 0 \leq q_2 \leq \frac{200}{21}, \\ q_2, & \frac{200}{21} \leq q_2 \leq \frac{20(10 + \sqrt{10})}{21}, \\ \frac{200 - q_2}{20}, & \frac{20(10 + \sqrt{10})}{21} \leq q_2. \end{cases}
Аналогичным образом можно найти и кривую реакции второй фирмы.
q_2 = \begin{cases} \frac{200 - q_1}{4}, & 0 \leq q_1 \leq 40, \\ q_1, & 40 \leq q_1 \leq 48, \\ \frac{200 - q_1}{4}, & 48 \leq q_1. \end{cases}
Так выглядят кривые реакции фирм. Можно увидеть, что по сравнению с пунктом А) итоговое равновесие не изменилось.