Овощная Страна
В Овощной Стране есть два региона (A и ), в каждом из которых выращивают помидоры и огурцы . В регионе каждый житель может произвести кг помидоров или кг огурцов в день. В регионе B каждый житель может произвести кг помидоров или кг огурцов в день. Овощи потребляются только в комплектах (в порциях салата), состоящих из килограмма огурцов и килограмма помидоров. Население региона составляет человек, а население региона составляет человек.
а) ( балла) Предположим, что все овощи потребляются только в тех регионах, где они произведены, распределение салата между жителями внутри региона равномерное. Какое максимальное количество порций салата (комплектов) может ежедневно получать каждый житель региона ?
б) ( баллов) Ответьте на вопрос предыдущего пункта для жителей региона .
в) ( баллов) В Овощной Стране введено центральное планирование. Теперь производство осуществляется так, чтобы суммарное потребление салата в стране было максимальным. При этом комплекты будут распределяться поровну между всеми жителями обоих регионов. Сколько порций салата будет произведено в день?
г) ( баллов) Будем говорить, что некто проигрывает, если потребление им салата уменьшается. При каких значениях параметра жители региона проиграют от центрального планирования?
д) ( баллов) Ответьте на вопрос предыдущего пункта для жителей региона .
КПВ в регионах при отсутствии обменов:
а) Каждый житель может произвести кг помидоров и кг огурцов соответственно, он и получит порции салата.
Всего в регионе будет произведено кг каждого вида овощей, то есть кг салата. Уравнение КПВ региона имеет вид: .
**б)**Пусть – количество работников, занятых производством помидоров, а, – производством огурцов. Тогда:
Уравнение КПВ региона :
Приравнивая , получаем:
Значит, каждому жителю региона достанется по кг помидоров и огурцов, то есть по порции салата (комплектов).
в) Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость кг помидоров в регионе равна кг огурцов. Альтернативная стоимость кг помидоров в регионе равна кг огурцов. Вид общей КПВ будет зависеть от соотношения альтернативных стоимостей, то есть от того, или .
Случай 1. (случай можно включить как в случай , так в случай ). Cуммарная КПВ будет иметь вид:
Поскольку , луч пересечёт её на нижнем участке, имеющем уравнение . Значит, , откуда . Это и будет суммарноe количество произведённых порций салата.
Cлучай 2. . Cуммарная КПВ будет иметь вид:
Поскольку по условию , луч пересечёт её на верхнем участке, имеющем уравнение . Значит, , откуда .
Подытоживая, получаем, что суммарноe количество произведённых порций салата равно:
г) Потребление каждым жителем страны салата при центральном планировании:
Поскольку , при жители региона точно проиграют от планирования. При они проиграют, если , то есть при . Объединяя эти два случая, получаем, что жители страны проиграют при .
д) Аналогичным образом получаем, что при жители страны проиграют, если , то есть если , что невозможно при . Значит, в этом случае они точно не проиграют. Если же , жители страны проиграют, если: .
После преобразований получаем квадратное неравенство . Решением этого неравенства является область между корнями уравнения . Решая уравнение, получаем:
Поскольку , весь интервал входит в множество значений параметра, рассматриваемое в данном случае. Значит, весь интервал и будет ответом. Жители страны проиграют при .
Примечание:
Замечание 1. Если бы регионы просто начали бы торговать друг с другом, то, как известно, ни одному не стало бы хуже по сравнению с пунктами (а), (б). Данная задача показывает, что в отличие от торговли, при центральном планировании и "уравниловке" любой из регионов может пострадать, даже если суммарное производство увеличивается.
Замечание 2. Несложно показать, что при обе страны не проиграют от центрального планирования. Значит, ответы в (г) и (д) являются верными при рассмотрении всех .