Овощная Страна
В Овощной Стране есть два региона (A и B ), в каждом из которых выращивают помидоры (X) и огурцы (Y). В регионе A каждый житель может произвести 1 кг помидоров или 1 кг огурцов в день. В регионе B каждый житель может произвести 0,8 кг помидоров или k\in (0; 6] кг огурцов в день. Овощи потребляются только в комплектах (в порциях салата), состоящих из килограмма огурцов и килограмма помидоров. Население региона A составляет 6000 человек, а население региона B составляет 1000 человек.
а) ( 3 балла) Предположим, что все овощи потребляются только в тех регионах, где они произведены, распределение салата между жителями внутри региона равномерное. Какое максимальное количество порций салата (комплектов) может ежедневно получать каждый житель региона A ?
б) ( 5 баллов) Ответьте на вопрос предыдущего пункта для жителей региона B.
в) ( 10 баллов) В Овощной Стране введено центральное планирование. Теперь производство осуществляется так, чтобы суммарное потребление салата в стране было максимальным. При этом комплекты будут распределяться поровну между всеми жителями обоих регионов. Сколько порций салата будет произведено в день?
г) ( 6 баллов) Будем говорить, что некто проигрывает, если потребление им салата уменьшается. При каких значениях параметра k\in (0; 6] жители региона A проиграют от центрального планирования?
д) ( 6 баллов) Ответьте на вопрос предыдущего пункта для жителей региона B.
КПВ в регионах при отсутствии обменов:
а) Каждый житель может произвести 0,5 кг помидоров и 0,5 кг огурцов соответственно, он и получит 0,5 порции салата.
Всего в регионе будет произведено 3000 кг каждого вида овощей, то есть 6000 кг салата. Уравнение КПВ региона имеет вид: X_A+Y_A=6000.
б)Пусть L_X – количество работников, занятых производством помидоров, а, L_Y – производством огурцов. Тогда:
X_B=0,8L_X; Y_B=kL_Y; X_B+Y_B=1000
Уравнение КПВ региона B : \frac{X_B}{0{,}8} + \frac{Y}{k} = 1000
Приравнивая X=Y, получаем: Y_B = X_B = \frac{1000k}{1{,}25k + 1}
Значит, каждому жителю региона достанется по k/(1,25k+1) кг помидоров и огурцов, то есть по k/(1,25k+1) порции салата (комплектов).
в) Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость 1 кг помидоров в регионе A равна 1 кг огурцов. Альтернативная стоимость 1 кг помидоров в регионе B равна 1,25k кг огурцов. Вид общей КПВ будет зависеть от соотношения альтернативных стоимостей, то есть от того, k\leq 0,8 или k>0,8.
Случай 1. k\leq 0,8 (случай k=0,8 можно включить как в случай 1, так в случай 2 ). Cуммарная КПВ будет иметь вид:
Поскольку 6000/800>1, луч Y=X пересечёт её на нижнем участке, имеющем уравнение Y=6800-X. Значит, 6800-X=X, откуда X=3400. Это и будет суммарноe количество произведённых порций салата.
Cлучай 2. k>0,8. Cуммарная КПВ будет иметь вид:
Поскольку по условию k\leq 6, луч Y=X пересечёт её на верхнем участке, имеющем уравнение Y=6000+1000k-X. Значит, Y=6000+1000k-X=X, откуда X=3000+500k.
Подытоживая, получаем, что суммарноe количество произведённых порций салата равно:
X = Y = \begin{cases} 3400, & k \leq 0{,}8 \\ 3000 + 500k, & k \in (0{,}8; 6] \end{cases}
г) Потребление каждым жителем страны салата при центральном планировании:
\frac{X}{7000} = \frac{Y}{7000} = \begin{cases} \frac{17}{35}, & k \leq 0{,}8 \\ \frac{6 + k}{14}, & k \in (0{,}8; 6] \end{cases}
Поскольку \frac{17}{35} = \frac{34}{70} < \frac{35}{70} = \frac{1}{2}, при k\leq 0,8 жители региона A точно проиграют от планирования. При k>0 они проиграют, если \frac{6 + k}{14} < \frac{1}{2}, то есть при k<1. Объединяя эти два случая, получаем, что жители страны A проиграют при k\in (0; 1).
д) Аналогичным образом получаем, что при k\leq 0,8 жители страны B проиграют, если \frac{34}{70} < \frac{k}{1{,}25k + 1}, то есть если 68<55k, что невозможно при k\leq 0,8. Значит, в этом случае они точно не проиграют. Если же k\in (0,8; 6], жители страны B проиграют, если: \frac{6 + k}{14} < \frac{k}{1{,}25k + 1}.
После преобразований получаем квадратное неравенство 5k^2-22k+24<0. Решением этого неравенства является область между корнями уравнения 5k^2-22k+24=0. Решая уравнение, получаем:
k_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{5} = \left[2; \, 2{,}4\right]
Поскольку 2,4<6, весь интервал (2;2,4) входит в множество значений параметра, рассматриваемое в данном случае. Значит, весь интервал (2; 2,4) и будет ответом. Жители страны B проиграют при k\in(2; 2,4).
Примечание:
Замечание 1. Если бы регионы просто начали бы торговать друг с другом, то, как известно, ни одному не стало бы хуже по сравнению с пунктами (а), (б). Данная задача показывает, что в отличие от торговли, при центральном планировании и "уравниловке" любой из регионов может пострадать, даже если суммарное производство увеличивается.
Замечание 2. Несложно показать, что при k>6 обе страны не проиграют от центрального планирования. Значит, ответы в (г) и (д) являются верными при рассмотрении всех k>0.