Зная производственную функцию, определим MPL, как Q'(L) :

MPL=30-2L. Фирма - совершенный конкурент, поэтому MRPL = P \cdot MPL = 90 - 6L.

Теперь нужно определить заработную плату в обоих случаях (без проведения олимпиады и с ней).

1) a=0, поэтому u(w) = 45w^2 - w^3. Определим максимум функции на промежутке w>0,

u'(w) = 90w - 3w^2 = 0 точки экстремума - w=0 и w=30, определяем, что w=30 - точка максимума, и проверяем, что u(30) > u(0). Поэтому w=30.

Определим прибыль фирмы. MRPL=w, отсюда 90-6L=30, L=10

Q = 300 - 10^2 = 200,

TR = 200 \times 3 = 600,

TC = w \times L = 30 \times 10 = 300,

\Pi = TR - TC = 300.

2) a=2, поэтому u(w) = 45w^2 - 3w^3 + 216w. Определим максимум функции на промежутке w > 0,

u'(w) = 90w - 9w^2 + 216 = 0 точки экстремума - w=(-2) и w=12, определяем, что w=12 - точка максимума, и проверяем, что u(12)>u(0). Поэтому w=12.

Определим прибыль фирмы. 90-6L=12, L=13.

Q = 390 - 169 = 221,

TR = 221 \times 3 = 663,

TC = w \times L = 13 \times 12 + x = 156 + x, , где x -стоимость организации олимпиады. \Pi = TR - TC = 507 - x..

Наконец, определим максимальное возможное значение x. \Pi_2 - \Pi_1 = 207 - x, поэтому X_{\text{max}} = 207

Ответ:

Максимальная стоимость проведения олимпиады - 207 лилифунтов