Гулливер и лилипуты
Гулливер открывает в Лилипутии совершенно конкурентное предприятие по производству маленьких учебников по экономике. Единственный фактор производства - труд, который предоставляют сами лилипуты. Известно, что производственная функция, имеет вид Q(L)=30L-L^2, а постоянные издержки равны 0.
На рынке учебников по экономике установилась равновесная цена на уровне P=3 лилифунта.
Лилипуты – необычный народ, они сами устанавливают заработную плату, которую хотят получать. Причём они делают это исходя из полученного удовлетворения от работы, его лилипуты хотят получить как можно больше: u(w) = 45w^2 - (1 + a)w^3 + 108aw , где 'u ' – функция общего удовлетворения одного работника, 'a ' – коэффициент счастья, а 'w ' – ставка заработной платы, w>0.
Гулливер может устроить на предприятии олимпиаду по экономике, затратив некоторое количество лилифунтов, от участия в которой лилипуты станут очень счастливы: коэффициент счастья 'a ' станет равен 2. Если же Гулливер поскупится и не устроит олимпиаду, лилипуты будут несчастны (a=0 ).
Определите, какую максимальную сумму Гулливер готов заплатить за проведение олимпиады, учитывая, что его цель – максимизация прибыли.
Зная производственную функцию, определим MPL, как Q'(L) :
MPL=30-2L. Фирма - совершенный конкурент, поэтому MRPL = P \cdot MPL = 90 - 6L.
Теперь нужно определить заработную плату в обоих случаях (без проведения олимпиады и с ней).
1) a=0, поэтому u(w) = 45w^2 - w^3. Определим максимум функции на промежутке w>0,
u'(w) = 90w - 3w^2 = 0 точки экстремума - w=0 и w=30, определяем, что w=30 - точка максимума, и проверяем, что u(30) > u(0). Поэтому w=30.
Определим прибыль фирмы. MRPL=w, отсюда 90-6L=30, L=10
Q = 300 - 10^2 = 200,
TR = 200 \times 3 = 600,
TC = w \times L = 30 \times 10 = 300,
\Pi = TR - TC = 300.
2) a=2, поэтому u(w) = 45w^2 - 3w^3 + 216w. Определим максимум функции на промежутке w > 0,
u'(w) = 90w - 9w^2 + 216 = 0 точки экстремума - w=(-2) и w=12, определяем, что w=12 - точка максимума, и проверяем, что u(12)>u(0). Поэтому w=12.
Определим прибыль фирмы. 90-6L=12, L=13.
Q = 390 - 169 = 221,
TR = 221 \times 3 = 663,
TC = w \times L = 13 \times 12 + x = 156 + x, , где x -стоимость организации олимпиады. \Pi = TR - TC = 507 - x..
Наконец, определим максимальное возможное значение x. \Pi_2 - \Pi_1 = 207 - x, поэтому X_{\text{max}} = 207
Ответ:
Максимальная стоимость проведения олимпиады - 207 лилифунтов