Олимпиада – это тоже праздник!
Одна компания, которая производит олимпиады (x) и праздники (y), наняла на работу Петра. Директор компании не знает, что у Петра получается делать лучше: олимпиады или праздники. Он знает, что с вероятностью p=0,5 Петр может за час произвести 0,5 единиц y, a с вероятностью 1-p=0,5 1 единицу y. Также он знает, что с вероятностью d=0,5 Петр может за час произвести 1 x единицу x, a с вероятностью 1-d=0,5 – 0,5 единиц x. Всего у Петра 8 часов. Директор компании выбирает, какое количество часов Петру потратить на производство x, а какое – на производство y, максимизируя количество комплектов из 1 x и m y, и прописывает эти часы в контракте. Петр тратит ровно это количество часов и отдаёт все x и y директору. При этом его реальные производственные функции: y=L_y/2, x=L_x. Определите, чему равно m, если известно, что директор получил на 0,4 комплекта из 1 единицы x и m единиц y меньше из-за того, что не знал производственные функции Петра до принятия решения о распределении часов между L_x и L_y.
( 30 баллов)
Для начала немного формализуем условие:
при p=0,5: y=0,5L_y, x=L_x ;
при 1-p=0,5: y=L_y, x=0,5L_x.
Тогда можем найти ожидаемые директором производственные функции Петра:
x_e = 0{,}5 L_x + 0{,}5 \cdot 0{,}5 L_x = 0{,}75 L_x
y_e = 0{,}5 L_y + 0{,}5 \cdot 0{,}5 L_y = 0{,}75 L_y
Далее выразим L_x и L_y и подставим в ограничение по количеству часов:
L_x = \frac{4}{3}x, \quad L_y = \frac{4}{3}y \Rightarrow \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}y = 8 \Rightarrow x + y = 6
Вспомним, что олимпиады и праздники потребляются в пропорции 1 к m, значит y=mx. Получаем систему:
\begin{cases} x + y = 6; \\ y = mx. \end{cases}
Решив систему, получаем, что x=6/(1+m), y=6m/(1+m), а значит директор пропишет в контракте следующие часы работы: L_x = \frac{8}{1 + m}, \quad L_y = \frac{8m}{1 + m}.
Работая столько часов, Петр фактически произведет x=L_x=8/(1+m) и y=0,5L_y=4m/(1+m).
Теперь найдем, какое количество комплектов получает директор: чтобы было 8/(1+m) комплектов, нужно x=8/(1+m), y=8m/(1+m), но Петр произвел лишь y=4m/(1+m) поэтому всего у директора оказалось лишь 4/(1+m) комплектов.
Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то L_x=x, L_y=2y. Снова запишем ограничение на количество часов работы x+2y=8 и решим следующую систему:
\begin{cases} x + 2y = 8, \\ y = mx. \end{cases}
Получим, что x=8/(1+2m) и y=8m/(1+2m), значит директор получает 8/(1+2m) комплектов.
Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к 0,4.
\frac{8}{1 + 2m} - \frac{4}{1 + m} = 0,4
2m^2 + 3m - 9 = 0
m = 1,5