Олимпиада – это тоже праздник!
Одна компания, которая производит олимпиады и праздники , наняла на работу Петра. Директор компании не знает, что у Петра получается делать лучше: олимпиады или праздники. Он знает, что с вероятностью Петр может за час произвести 0,5 единиц , a с вероятностью единицу . Также он знает, что с вероятностью Петр может за час произвести единицу , a с вероятностью – единиц . Всего у Петра часов. Директор компании выбирает, какое количество часов Петру потратить на производство , а какое – на производство , максимизируя количество комплектов из и , и прописывает эти часы в контракте. Петр тратит ровно это количество часов и отдаёт все и директору. При этом его реальные производственные функции: , . Определите, чему равно , если известно, что директор получил на комплекта из единицы и единиц меньше из-за того, что не знал производственные функции Петра до принятия решения о распределении часов между и .
( баллов)
Для начала немного формализуем условие:
при ;
при .
Тогда можем найти ожидаемые директором производственные функции Петра:
Далее выразим и и подставим в ограничение по количеству часов:
Вспомним, что олимпиады и праздники потребляются в пропорции к , значит . Получаем систему:
Решив систему, получаем, что , , а значит директор пропишет в контракте следующие часы работы: .
Работая столько часов, Петр фактически произведет и .
Теперь найдем, какое количество комплектов получает директор: чтобы было комплектов, нужно , , но Петр произвел лишь поэтому всего у директора оказалось лишь комплектов.
Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то , . Снова запишем ограничение на количество часов работы и решим следующую систему:
Получим, что и , значит директор получает комплектов.
Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к .