В первую очередь необходимо формализовать условие о полном использовании временных ресурсов "выложившись на все 100% на олимпиаде". Оно означает, что a+b=1 ( +1 балл), ведь иначе можно увеличить количество задач одного типа не уменьшая количество других задач (точка не на КПВ). После следует записать уравнение КПВ: y=b-\frac{b}{a}x ( +2 балла), где x — количество задач по микроэкономике, а y — количество задач по макроэкономике. КПВ имеет именно такой вид, так как в условии сказано, что при фиксированных временных затратах на каждый вид задач, Саше доступна линейная комбинация этих затрат (линейная комбинация a и b ). Теперь запишем задачу максимизации:

y = 1 - - \frac{1 - a}{a} x \to \max_{ a \in \{0;1\}} ( +4 балл).

y = 1 - a + x - \frac{x}{a} \to \max_{a \in \{0;1\}}

Максимизация при помощи производной:

y_a' = -1 + \frac{x}{a^2} = 0 \Rightarrow a = \sqrt{x} \quad

y_a'' = \frac{-2x}{a^3} < 0 \Rightarrow max или любым другим способом ( +1 балл).

y = 1 - 2\sqrt{x} + x \quad за запись итогового КПВ ( +1 балл).

Следует заметить, что для решения данной задачи не требовалось знание производной. Достаточно было использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (доказательство этого неравенства приводить необязательно):

\frac{c + d}{2} \geq \sqrt{cd}

А равенство достигается если и только если c=d. Воспользовавшись этим неравенством, можно сказать, что c=a, а d=x/a' тогда можно записать:

y = 1 + x - \left( a + \frac{x}{a} \right) \leq 1 + x - 2\sqrt{x} \quad ( +3 балла).

При максимизации данным способом также необходимо было указать, что равенство между левой и правой частью достигается при

x = \frac{x}{a} \Rightarrow a = \sqrt{x} \quad ( +1 балл).