Барри, Ларри и склад в Гарлеме
Два студента химического факультета Барри и Ларри промышляют производством соляной кислоты, причем затраты на производство Q литров в долларах можно рассчитать по формуле C(Q)=Q^2.
Барри и Ларри продают свой полностью натуральный продукт преподавателям, которые считают Барри и Ларри единственными продавцами и предъявляют спрос согласно следующей функции спроса: P_d(Q)=135-3,5Q, где P_d – цена литра кислоты в долларах, Q – объем кислоты в литрах.
Кислота – очень удобный для производства продукт. Ее легко хранить и просто транспортировать. Недавно друзья узнали, что с находящегося в Гарлеме склада можно оптом заказывать соляную кислоту по цене 9 долларов за литр.
1) Запишите функцию издержек TC(Q), показывающую минимальные расходы на поставку Q литров соляной кислоты. Какое количество будет продано преподавателям? Сколько литров будет произведено лично студентами?
2) Пусть теперь минимальный объем заказа со склада составляет 16 литров. Как изменятся ответы на предыдущий пункт?
1) Стандартная задача на два "завода". MC_1(q_1) = 2q_1, MC_2(q_2) = 9 . При Q < 4.5 выгодно производить кислоту самостоятельно, так как предельные издержки каждой единицы будут меньше, чем при закупке. При Q > 4.5 каждый следующий литр выгодно закупать на складе.
Функция предельной выручки имеет вид MR(Q) = 135 - 7Q и пересечет горизонтальный участок MC_{total} :
135 - 7Q = 9 \quad \Rightarrow \quad Q = 18. Студенты произведут Q_{students}=4,5
2) Ошибочно было бы полагать, что студенты будут производить кислоту сами, если необходимый объем Q<16, и начнут закупать кислоту оптом, если Q \geq 16. По условию, кислоту очень просто хранить, поэтому ничто не мешает студентам закупить 16 литров кислоты и продать только часть! Найдем, при каком объеме производства они безразличны в выборе между собственноручным производством и закупкой:
Q^2 = 16 \cdot 9 \Rightarrow Q = 12
Таким образом, если требуется поставить Q \leq 12, то студентам выгодно произвести кислоту самим. Если же требуемый объем поставки превышает 12 литров, то студентам выгодно закупить 16 литров и поставить необходимое количество. Но что делать, если требуемый объем поставки превышает 16 литров? Ответ на этот вопрос полностью следует из предыдущего пункта. Поскольку им точно будет выгодно закупить первые 16 литров (и не производить самим ничего), то мы можем не учитывать эти издержки и свести задачу к следующей: студенты могут закупать любой объем по цене 9 долларов за литр и могут произвести некоторое Q самостоятельно. Как мы уже узнали, самим им выгодно произвести Q_{students}=4,5 литров, а остальное они будут закупать. Итак, итоговая функция издержек:
Q^2, Q \in [0, 12]
144, Q \in [12, 16]
144 + (Q - 16)^2, Q \in [16, 20.5]
164,25 + 9(Q - 20,5), Q \in (20,5; \infty)
Еще немного пояснений: если надо поставить до 12 литров, то студенты производят сами. Если нужно поставить от 12 до 16 литров кислоты, то студенты закупят ровно 16 литров по цене 9 долларов за литр и продадут нужное им количество. Таким образом, издержки будут константой.
Пусть требуется поставить больше 16: тогда студенты закупят 16, а сами произведут остаток, то есть разницу \Delta = Q - 16. Но как мы выяснили в пункте 1, выгодно им самим производить только 4,5 литра кислоты. Поэтому если требуется поставить Q > 20,5, то они закупят 16 по цене 9 долларов, сами произведут 4,5 литра, а остаток будут вновь закупать: \Delta = Q - 20,5.
Теперь можно найти MC(Q), как производную TC(Q), и увидеть, что пересечение MR(Q)=MC достигается при Q = \frac{167}{9} \approx 18,55 , то есть суммарный объем продаж вырос! Сами же студенты теперь произведут лишь Q_{\text{students}} = \frac{167}{9} - 16 \approx 2,55 литров кислоты.