Задание 3.4 Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Григорий владеет тремя заводами по производству сложных задач. Издержки на первом заводе задаются уравнением TC_1=Q_1^2, на втором и третьем TC_2=2Q_2, \ TC_3=3Q_3, соответственно. Григорий хочет произвести 4 сложных задачи. Определите количество денег, которые ему придется потратить, при условии, что он рациональный агент. В ответ запишите число без единиц измерения.
Ответ: 7
Решение:
Заметим, что Григорий не будет использовать третий завод, т.к. производство на втором заводе всегда выгоднее. Тогда найдем общие издержки, если используются первые два завода. Пусть Q=Q_1+Q_2, где Q - общее количество.
Q_2=Q-Q_1, где Q_i − количество производимой продукции на i − ом заводе
Тогда TC(Q) = TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) = Q_1^2 + 2Q_2 = Q_1^2 + 2Q - 2Q_1. Выполним задачу минимизации функции издержек по Q_1. Графиком функции является парабола с ветвями вверх, минимум достигается в вершине: Q_1=1. Тогда на первом заводе производим одну задачу, а все остальные на 2 -ом заводе.
Суммарно будет потрачено: TC_1(1)+TC_2(3)=1^2+2*3=7.
( 3 балла)