Чемпион слил регион (feat a.k.a Gordonov).
Рациональный Миша Zhokhoff обожает рулеты и является крайне сентиментальным, поэтому его полезность (кол-во набранных балов на региональном этапе ВОШ) зависит от чувствительности продавцов к изменению цен, ведь это приносит ему душевные переживания и снижает концентрацию, и количества съеденных сочных рулетов.
Определяется она следующим образом:
U_m = R\sqrt{3 + 2\sqrt{2} - E_p^q}
Где E – эластичность предложения продавца Буха в точке равновесия;
R - кол-во съеденных рулетов.
Миша выбирает между двумя ситуациями на рынке:
1. Отказаться от покупки, и тогда сделка просто не состоится, то есть он получит нулевую полезность.
2. Приобрести 228 единиц по цене 1000, потому что так велела мама. Третьего не дано, ведь данные о своей функции спроса Миша записал на салфетке, которой вытер руки перед приёмом пищи, так что функция спроса была утрачена. При анализе рынка Миша заметил, что директор Бух, выступающий продавцом, готов начинать продажи при цене от 0 до \frac{56000 + 228000\sqrt{2}}{57 + 228\sqrt{2}}.
Точное значение цены Миша предсказать не в силах, зато знает, что функция предложения линейна. Помогите сделать Мише правильный выбор, если он максимизирует полезность.
По условию задачи у индивида есть две альтернативы:
Мы сравниваем полезность от сделки с нулём. Так как предложение линейно и выходит из точки (0;P_{min}). Можно найти эластичность по формуле
E_p^q = Q'p \times \frac{P}{Q} = \frac{Q}{P - P_{min}} \times \frac{P}{Q}=\frac{P}{P - P_{min}} = \frac{1000}{1000 - P_{min}}
в равновесии. Заметим, что \sqrt{3+2\sqrt 2}=1+\sqrt 2, тогда полезность при сделке будет равна 228+228\sqrt 2-\frac{1000}{1000-P_{min}} и убывает по цене продаж. Подставим максимально возможную цену, а точнее \frac{56000 + 228000\sqrt{2}}{57 + 228\sqrt{2}} = \frac{57000 + 228000\sqrt{2} - 1000}{57 + 228\sqrt{2}} = 1000 - \frac{1000}{57 + 228\sqrt{2}}
Тогда наименьшая полезность равна 228-57=171, значит оптимально выбирать сделку.
Ответ: Выбирает сделку при любых резервных ценах.
P.S. В задачах на эластичность, в особенности в тестах, часто бывают полезны следующие формулы, которые получаются при выражении производной, как отношения отрезков. Ниже представлены формулы для линейного спроса.
E_{p}^{q^d} = q'p \times \frac{p}{q} = \frac{q - q_{\text{max}}}{p} \times \frac{p}{q} = \frac{q - q_{\text{max}}}{q}
E_{p}^{q^d} = \frac{q}{p - p_{\text{max}}} \times \frac{p}{q} = \frac{p}{p - p_{\text{max}}}
Кстати, Миша действительно набрал 171 балл на региональном этапе, сказав до объявления результатов, что облажался, собственно поэтому его минимальное кол-во баллов было равно 171.