Пусть \beta — снижение процента брака, тогда доля продукции с дефектом составит \alpha - \beta. Задача фирмы:

\pi(q,\beta)=8(1−\alpha+\beta)q−q^2−2(\alpha−\beta)q−25 \beta \rightarrow maxq>0,\alpha> \beta>0 (5 баллов)

Далее можно действовать двумя способами.

Способ 1:

Заметим, что прибыль \pi(q,\beta) является линейной функцией относительно \beta, значит, максимум прибыли будет достигаться в крайних точках области определения (2 балла). Так как \beta \in [0,\alpha], то в оптимуме либо \beta =0, либо \beta = \alpha (2 балла).

Если \beta=0, то целевая функция принимает вид:

\pi(q)=8(1−\alpha)q−q^2−2q\alpha \rightarrow max_{q>0 } (1 балл)

Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является

q = \begin{cases} 4 - 5\alpha, \text{если } \alpha \leq 0,8; \\ 0, \text{если } \alpha > 0,8. \end{cases}

(1 балл за каждую строчку системы)

Тогда максимум прибыли составит

\pi = \begin{cases} (4 - 5\alpha)^2, \text{если } \alpha \leq 0,8; \\ 0, \text{если } \alpha > 0,8. \end{cases}

(1 балл за каждую строчку системы)

Если \beta = \alpha, то целевая функция принимает вид:

\pi(q)=8q−q^2−25\alpha \rightarrow maxq>0 (1 балл)

Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является q=4 (1 балл), тогда максимум прибыли составит \pi =16−25\alpha (1 балл).

Теперь остается сравнить прибыль в двух случаях.

При \alpha \leq 0,8 сравниваем (4−5 \alpha)^2 и 16−25\alpha (1 балл). Получаем, что

- при \alpha <0,6: \beta = \alpha, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)

- при \alpha =0,6: \beta=0 или \beta=\alpha, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)

- при \alpha \in (0,6;0,8] : \beta =0, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)

При \alpha >0,8 сравниваем 0 и 16−25\alpha (1 балл). Получаем, что при \alpha >0,8 всегда нерационально вкладываться в снижение брака, поэтому \beta =0. (1 балл)

Способ 2:

График прибыли \pi(q,\beta) как функции от выпуска является параболой с ветвями вниз (2 балла), поэтому оптимальным выпуском является

q = \begin{cases} 4 - 5\alpha + 5\beta, & \text{если } \alpha - \beta \leq 0,8; \\ 0, & \text{если } \alpha - \beta > 0,8. \end{cases}

(2 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)

Тогда максимум прибыли составит

\pi(\beta) = \begin{cases} 25\beta^2 + (15 - 50\alpha)\beta + (4 - 5\alpha)^2, & \text{если } \alpha - \beta \leq 0,8; \\ -25\beta, & \text{если } \alpha - \beta > 0,8. \end{cases}

(4 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)

При \alpha−\beta \leq0,8 графиком зависимости максимальной прибыли от снижения брака является парабола с ветвями вверх, значит, максимум будет достигаться в одном из концов области определения (2 балла). Поэтому в оптимуме или \beta =0, или \beta = \alpha (2 балла). Абсцисса вершины этой параболы \beta _0=\alpha −0,3. Парабола симметрична относительно прямой \beta=\beta_0 (1 балл), поэтому максимум прибыли будет достигаться

- в левой границе \beta=0, если \beta_0>0,5\alpha (т.е. если вершина правее середины отрезка);

- в правой границе \beta = \alpha, если \beta_0<0,5\alpha (т.е. если вершина левее середины отрезка);

-в обоих концах, если \beta_0=0,5\alpha.

Таким образом,

- при \alpha <0,6: \beta=\alpha, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)

- при \alpha =0,6: \beta=0 или \beta=\alpha, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)

- при \alpha \in(0,6;0,8] : \beta=0, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)

При \alpha−\beta>0,8 максимальная прибыль убывает по \beta (1 балл), следовательно, для максимизации функции \pi(\beta) на отрезке \beta \in [0,\alpha] необходимо брать минимальное допустимое значение \beta : \beta=0. Тогда \alpha - \beta >0,8 эквивалентно \alpha >0,8, то есть при \alpha >0,8 фирме не выгодно вкладываться в снижение брака (1 балл).