Ипотечный блиц
Существуют различные схемы платежей по ипотечному кредиту. Самый распространённый из них – аннуитет. При такой схеме платёж каждый месяц вычитается из суммы долга после начисления процентов. Например, если изначальная сумма долга равна S_0, платёж равен X, а ставка процента равна (100i)\%, то долг на конец первого месяца будет равен S_1=(1+i)*S_0-X, долг на конец второго будет равен S_2=(1+i)*S_1-X, и т.д. Платёж X подбирается так, чтобы в конце срока кредита долг заёмщика перед банком был равен нулю.
Для справки: верно тождество b+ bq + bq^2 +...+ bq^n= \frac{b*(q^n – 1)}{q-1}.
Верны ли утверждения, приведённые ниже? Ответы следует обосновать алгебраически.
1. Удвоение суммы кредита увеличит размер платежа вдвое при тех же величинах ставки по кредиту и срока кредита.
Выведена или использована формула аннуитета ниже :
S = \frac{X}{(1+i)} + \frac{X}{(1+i)^2} + \dots + \frac{X}{(1+i)^T} = \frac{X \left(1 - \frac{1}{(1+i)^T}\right)}{i}
2S = \frac{2X \left(1 - \frac{1}{(1+i)^T}\right)}{i}
Удвоение суммы кредита удвоит и размер платежа вдвое при тех же величинах ставки по кредиту и срока кредита.
( 12 баллов )
2. Удвоение срока кредита уменьшит размер платежа больше, чем вдвое, при тех же величинах ставки по кредиту и суммы кредита.
S=\frac{X_{\text{нов}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^{2T}}\right)}{i} \qquad S=\frac{X_{\text{стар}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\right)}{i}
\frac{X_{\text{нов}}}{X_{\text{стар}}} =\frac{1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}}{1-\dfrac{1}{(1+i)^{2T}}} =\frac{1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}}{\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\right)\!\left(1+\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\right)} =\frac{1}{1+\dfrac{1}{(1+i)^{T}}}
0<\frac{1}{(1+i)^{T}}<1 \;\Rightarrow\; 1<1+\frac{1}{(1+i)^{T}}<2 \;\Rightarrow\; 1>\frac{1}{\,1+\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\,}>0.5
Упадёт, но меньше, чем вдвое
( 12 баллов )
3. Удвоение ставки процента по кредиту увеличит размер платежа больше, чем вдвое, при тех же величинах срока по кредиту и суммы кредита.
S = \frac{X_{\text{нов}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+2i)^{T}}\right)}{2i} \qquad S=\frac{X_{\text{стар}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\right)}{i}
\frac{X_{\text{нов}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+2i)^{T}}\right)}{2i} \qquad=\qquad \frac{X_{\text{стар}}\!\left(1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}\right)}{i}
\frac{X_{\text{нов}}}{X_{\text{стар}}} = 2 \cdot \frac{1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}}{1-\dfrac{1}{(1+2i)^{T}}}
\frac{1}{1+2i} < \frac{1}{1+i} \Rightarrow \frac{1}{(1+2i)^{T}} < \frac{1}{(1+i)^{T}} \Rightarrow 1-\frac{1}{(1+2i)^{T}} > 1-\frac{1}{(1+i)^{T}} \Rightarrow 1-\frac{1}{(1+i)^{T}} < \frac{1-\dfrac{1}{(1+i)^{T}}}{1-\dfrac{1}{(1+2i)^{T}}} < 1 \Rightarrow 1 < \frac{X_{\text{нов}}}{X_{\text{стар}}} < 2
Вырастет меньше, чем вдвое.
( 11 баллов )