S048
Все крестьяне одной небольшой страны заняты в основном натуральным хозяйством. На рынке за деньги они продают только излишки своего производства. Если всех крестьян расположить в порядке возрастания их денежного дохода, получаемого от продажи продуктов на рынке, то по мере увеличения порядкового номера крестьянина денежный доход будет изменяться линейно. Однажды государство установило для всех крестьян, продающих часть своего продукта на рынке, налог в размере t денежных единиц. Причем величина t была выбрана таким образом, чтобы максимизировать вые поступления. Как оказалось, этот налог платят только 62,5\% крестьян, т.е. только те, кто получают от продажи своих излишков денежный доход, превышающий величину t. Все остальные отказались продавать что-либо на рынке и предпочли заниматься только натуральным хозяйством.
Определите, во сколько раз денежный доход самого богатого крестьянина до введения налога превосходил денежный доход самого бедного крестьянина.
Пусть до введения налога: i – это денежный доход самого богатого крестьянина, zi – денежный доход самого бедного (0<z<1), x – общее число крестьян, продававших свои излишки на рынке.
Мы знаем, что налог платят не все крестьяне. Это значит, что размер налога находится в интервале: zi<t<i. На приведенном рисунке показана линейная зависимость между порядковым номером крестьянина X и величиной его дохода I. Эта зависимость может быть выражена уравнением: X = \frac{I - z i}{i - z i} x.
Пусть при размере налога t его не платят k крестьян. В этом случае k = \frac{t - z i}{i - z i} x.
Число крестьян, которые платят налог: x - k = x - \frac{t - z i}{i - z i} x = x \left( 1 - \frac{t - z i}{i - z i} \right).
Общая сумма налоговых поступлений (закрашенная фигура на графике): t (x - k) = x \left( t - \frac{t^2 - z i t}{i - z i} \right).
Максимум налоговых поступлений достигается при условии: 1 - \frac{2t - z i}{i - z i} = 0. \quad 2t – zi = i – zi. \quad t = 0,5i.
Из условия мы знаем, что k = (1 – 0,625) x. \quad (1 - 0,625)x = \frac{t - zi}{i - zi}x. \quad 0,375 = \frac{0,5i - zi}{i - zi}. \quad z = 0,2.
Ответ: в 5 раз.