Сезонный продукт
Зимой спрос и предложение на городском рынке пирожков с голубикой задаются, соответственно, функциями Q_d(P)=100-P и Q_W(P)=3P. Летом предложение пирожков падает до Q_{S_1}(P)=P, потому что голубика растёт только в холодном климате. Но локальные производители освоили новую технологию выращивания голубики летом, поэтому предложение с недавних пор падает лишь до Q_{S_2}(P)=2P. Новая технология не понравилась государству, поэтому её запретили. Но столь важный рынок, решило государство, не должен оставаться без внимания. Оно решило повысить спрос на рынке до Q_g(P)=2a+Q_d(P), причём при этом тратится a^2 денежных единиц из бюджета.
a) ( 5 баллов) Определите изначальные равновесные цену и количество на рынке пирожков с голубикой зимой и летом до появления новой технологии.
Зимой спрос задаётся функцией Q_d=100-P, а предложение: Q_W=3P. Равновесию соответствует точка пересечения кривых спроса и предложение. Аналитически нам нужно просто приравнять их уравнения: 100 - P = 3P \Rightarrow P_w^* = 25, \ Q_w^* = 100 - 25 = 75. 1
Летом спрос задаётся функцией Q_d=100-P, а предложение до появления новой технологии имеет вид Q_S=P. Тогда равновесие: 100 - P = P \Rightarrow P_{s_1}^* = 50, \ Q_{s_1}^* = 50.
б) ( 3 балла) Какие цена и количество складывались бы на рынке летом, если бы государство не запрещало новую технологию?
С появлением новой технологии до вмешательства государства предложение имело вид: Q_S=2P. Тогда равновесие: 100 - P = 2P \Rightarrow P_{s_2}^* = \frac{100}{3}, \ Q_{s_2}^* = \frac{200}{3}.
в) ( 15 баллов) Определите оптимальное значение a, если государство хочет максимизировать общественное благосостояние, которое включает в себя благосостояние потребителей, производителей и самого государства.
Первый вариант решения:
Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на 2a при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь видQ_d=100+2a-P, а предложение – Q_S=P. Равновесие на этом рынке: 100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a, \ Q^* = 50 + a.
Изобразим спрос и предложение на графике:
Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:
Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть -a^2. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид:
SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500
Видно, что общественное благосостояние возрастает по a, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение a. Поскольку a никак не ограничено, оптимальный выбор государства: a \to +\infty.
Второй вариант решения:
На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это 100 ), то спрос будет предъявлять только государство на уровне 2a, т.е. при P>100 мы будет иметь вертикальный участок спроса Q=2a.
При этом равновесие у нас будут при: 100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a + 50, \, Q^* = a + 50.
В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:
Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:
Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет −-2a^2.
Таким образом, общественное благосостояние имеет вид:
Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть2a превысят 100, т.е. при a>50. В этом случае равновесие складывается при P^*=2a,Q^*=2a. Излишек потребителей в этом случае равен 0, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен 0,5*2a*2a=2a^2. Тогда общественное благосостояние имеет вид: SW=2a^2-a^2=a^2. Видно, что при любом положительном a общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом a. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое a и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.
г) ( 7 баллов) Получится ли у государства достичь того же уровня общественного благосостояния, как в случае, если бы оно не запрещало новую технологию выращивания голубики?
Если бы государство не запрещало новую технологию, то общественное благосостояние составило бы:
SW = 0{,}5 \cdot \frac{200}{3} \left(100 - \frac{100}{3}\right) + 0{,}5 \cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{100}{3} = \frac{10000}{3}.
В случае запрета технологии, но наличия государственных закупок, общественное благосостояние стремится к бесконечности. Таким образом, государству удалось значительно увеличить общественное благосостояние.