Рекламные наклейки
Компания-производитель воды рассматривает нестандартную бизнес-модель: продавать воду потребителям бесплатно, а доход получать исключительно от размещения рекламы на упаковке. Известно, что при нулевой цене спрос на воду не ограничен.
За каждую размещённую наклейку фирма-покупатель рекламы платит производителю фиксированную плату (ставку), которую производитель воды устанавливает одинаковой для всех. Издержки производителя воды описываются функцией , где — количество произведённых бутылок, а — общее количество размещённых на всех бутылках рекламных наклеек. и - только целые.
Также существуют технологические ограничения: на одной бутылке можно разместить не более наклеек, и наклейки от одной и той же фирмы на одной бутылке дублировать нельзя. На разные бутылки можно клеить разные наборы рекламных наклеек (к примеру может быть одна бутылка с наклейками типа и , а другая - с наклейками , и ).
На рынке рекламы действуют две группы фирм-рекламодателей с разным спросом:
У трёх фирм обратная функция спроса на размещение наклеек имеет вид: (для каждой фирмы, где — количество наклеек, которое она размещает).
У семи фирм обратная функция спроса: .
Определите оптимальную цену на одну наклейку, которую установит производитель.
Ответ
Подсказка: Есть еще случай при , когда на каждой бутылке располагается по наклейки.
Подсказка: В случае когда можно не искать строгое решение и решить задачу без ограничений на дублирование наклеек. Тогда все случаи, включая подходящие под ограничения будут рассмотрены.
Заметим, что при ставке покупать наклейки будут только фирмы, а при ставке меньше - все фирм. Найдем максимальное значение прибыли на обоих участках:
При :
Спрос одной фирмы , значит спрос всех -х : .
На этом участке спрос оказывают только фирмы, значит на каждой бутылке будет не более - х наклеек (так как дублировать одинаковые нельзя). По ставке все фирмы будут предъявлять спрос на одинаковое количество наклеек - значит на каждую бутылку можно будет наклеить разные. Заметим тогда, что будет кратно ( - целое по условию). Запишем функцию прибыли:
Заметим, что это парабола ветвями вниз и максимум в вершине . не кратно трем, поэтому нам подойдут или , или (так как это ближайшие точки кратные - м к вершине). Подставив эти значения в функции прибыли, получим, что при прибыль больше. Тогда этом случае:
При :
Найдем суммарный спрос:
У первой группы , у второй группы . Суммарный будет .
Прооптимизируем прибыль на этом участке без ограничений (оставим только, что на - й бутылке не более наклеек). Понятно, что все случае которые мы тогда рассмотрим будут содержать еще и те, которые подходят под ограничения, то есть мы гарантировано получим наибольшую прибыль на этом участке.
Докажем, что оптимальной будет ситуация, когда на каждой бутылке по наклеек:
Допустим это не так, тогда есть бутылки, на каждой из которых менее наклеек. Объединим их. Если суммарно на них больше наклеек (получится бутылка с наклейками и одна с остатком), то издержки не поменялись; если менее , то стало на бутылку меньше и наши издержки уменьшились. Тогда это не оптимум и в оптимуме все бутылки будут с пятью наклейками и не более одной с менее, чем .
Теперь вычислим прибыль, зная, что на каждой бутылке наклеек:
Максимум этой функции при , прибыль тогда .
Заметим, что в этом случае прибыль меньше, чем в , , поэтому оптимумом будет ставка .
Ответ: .