Рекламные наклейки
Компания-производитель воды рассматривает нестандартную бизнес-модель: продавать воду потребителям бесплатно, а доход получать исключительно от размещения рекламы на упаковке. Известно, что при нулевой цене спрос на воду не ограничен.
За каждую размещённую наклейку фирма-покупатель рекламы платит производителю фиксированную плату t (ставку), которую производитель воды устанавливает одинаковой для всех. Издержки производителя воды описываются функцией TC=10Q+2r, где Q — количество произведённых бутылок, а r — общее количество размещённых на всех бутылках рекламных наклеек. Q и r - только целые.
Также существуют технологические ограничения: на одной бутылке можно разместить не более 5 наклеек, и наклейки от одной и той же фирмы на одной бутылке дублировать нельзя. На разные бутылки можно клеить разные наборы рекламных наклеек (к примеру может быть одна бутылка с наклейками типа 1 и 2, а другая - с наклейками 2, 3 и 4 ).
На рынке рекламы действуют две группы фирм-рекламодателей с разным спросом:
- У трёх фирм обратная функция спроса на размещение наклеек имеет вид: t=60-2r (для каждой фирмы, где r — количество наклеек, которое она размещает).
- У семи фирм обратная функция спроса: t=20-2r.
Определите оптимальную цену на одну наклейку, которую установит производитель.
1. Подсказка: Есть еще случай при t>20, когда на каждой бутылке располагается по 3 наклейки.
2. Подсказка: В случае когда t<20 можно не искать строгое решение и решить задачу без ограничений на дублирование наклеек. Тогда все случаи, включая подходящие под ограничения будут рассмотрены.
Заметим, что при ставке t>20 покупать наклейки будут только 3 фирмы, а при ставке меньше 20 - все 10 фирм. Найдем максимальное значение прибыли на обоих участках:
(1) При t>20 :
Спрос одной фирмы r=30-0,5t, значит спрос всех 3 -х : r=90-1,5t, \ t=60-2r/3.
На этом участке спрос оказывают только 3 фирмы, значит на каждой бутылке будет не более 3 - х наклеек (так как дублировать одинаковые нельзя). По ставке t все фирмы будут предъявлять спрос на одинаковое количество наклеек - значит на каждую бутылку можно будет наклеить 3 разные. Заметим тогда, что r будет кратно 3 ( r - целое по условию). Запишем функцию прибыли:
\pi = TR - TC = t \cdot r - (10Q + 2r) = \left(60 - \frac{2r}{3}\right) \cdot r - 10 \cdot \frac{r}{3} - 2r
\pi = \frac{r}{3}(180 - 2r - 16) = \frac{r}{3}(164 - 2r)
Заметим, что это парабола ветвями вниз и максимум в вершине r=41. 41 не кратно трем, поэтому нам подойдут или r=42, или r=39 (так как это ближайшие точки кратные 3 - м к вершине). Подставив эти значения в функции прибыли, получим, что при r=42 прибыль больше. Тогда этом случае:
\pi_{max}=1120
t^*=32
(2) При t<20 :
Найдем суммарный спрос:
У первой группы r=90-1,5t, у второй группы r=70-3,5t. Суммарный будет r=160-5t, \ t=32-r/5.
Прооптимизируем прибыль на этом участке без ограничений (оставим только, что на 1 - й бутылке не более 5 наклеек). Понятно, что все случае которые мы тогда рассмотрим будут содержать еще и те, которые подходят под ограничения, то есть мы гарантировано получим наибольшую прибыль на этом участке.
Докажем, что оптимальной будет ситуация, когда на каждой бутылке по 5 наклеек:
Допустим это не так, тогда есть 2 бутылки, на каждой из которых менее 5 наклеек. Объединим их. Если суммарно на них больше 5 наклеек (получится 1 бутылка с 5 наклейками и одна с остатком), то издержки не поменялись; если менее 5, то стало на 1 бутылку меньше и наши издержки уменьшились. Тогда это не оптимум и в оптимуме все бутылки будут с пятью наклейками и не более одной с менее, чем 5.
Теперь вычислим прибыль, зная, что на каждой бутылке 5 наклеек:
\pi = TR - TC = t \cdot r - (10Q + 2r) = r\left(32 - \frac{r}{5}\right) - 10\frac{r}{5} - 2r
\pi = \frac{r}{5}(160 - r - 20) = \frac{r}{5}(140 - r)
Максимум этой функции при r=70, прибыль тогда \pi_{max}=980.
Заметим, что в этом случае прибыль меньше, чем в (1), 980<1120, поэтому оптимумом будет ставка t=32.
Ответ: t=32.