(a) Пусть V_0 и V_1 – рыночная стоимость собственности Вилли Вонки ещё до привлечения инвестора и уже после запуска нового цеха соответственно. Кроме того, пусть s – доля акций ООО "Шоколадная фабрика", которую Вонка продаёт Чарли (0\leq s\leq 1), а I – величина привлечённых от Чарли инвестиций. Поскольку Чарли выкупает акции по их текущей рыночной стоимости и все вырученные средства Вонка инвестирует в строительство цеха, то выполнено I=sV_0.

Рентабельность проекта равна r, поэтому стоимость доли Вилли Вонки после запуска нового цеха определяется по формуле

V_1=(1-s)(V_0+(1+r)I).

Следовательно, V_1 = (1 - s)(V_0 + (1 + r)sV_0) = V_0 (1 - s)(1 + (1 + r)s) = V_0 (1 + rs - (1 + r)s^2)

Вилли Вонка хочет продать Чарли столько акций, чтобы максимизировать суммарную стоимость акций, которые останутся в его собственности:

V_1(s) = V_0(1 + rs - (1 + r)s^2) \rightarrow \max \limits_{0 \leq s \leq 1}

Решаем оптимизационную задачу:

V_1'(s) = V_0(r - 2(1 + r)s) \implies V_0(r - 2(1 + r)s^*) = 0 \implies s^* = \frac{r}{2(1 + r)} > 0

Вонка продаст Чарли ровно 10\% акций, значит s^*=10\%. Подставляет это значение в решение оптимизационной задачи и получаем:

10\% = \frac{r}{2(1 + r)} \implies r = {25\%}

Ответ. Вонка продаст Чарли ровно 10\% акций при условии, что рентабельность проекта равна 25\%

(b) Из пункта (a) мы знаем, что Вонка продаёт Чарли долю s^* = \frac{r}{2(1 + r)} от акций "Фабрики". Следовательно, нужно доказать, что при любом r выполняется s^*<50\%. Доказательство от противного. Допустим, s^*\geq 50\%. Тогда \frac{r}{2(1 + r)} \geq 0.5 \implies r \geq (1 + r) \implies 0 \geq 1

Противоречие.

Значит, должно быть верно исходное утверждение: для любого конечного значения r выполнено s^*<50\%.

(c) По сути, в пункте (b) утверждается, что, чтобы профинансировать новый проект, владелец бизнеса будет готов продать любую долю своих акций (в зависимости от рентабельности проекта), но менее 50\%. Однако, это верно лишь для отдельно взятого проекта. Если один за другим запускается несколько проектов, то суммарно первоначальный владелец бизнеса вполне может продать и больше 50\% акций, хотя каждый раз он, действительно, будет продавать меньше половины имеющейся у него доли. Пример: если ради финансирования первого проекта основатель продаст 40\% всех акций, а ради второго – ещё 40\% остатка, то суммарно им будет распродано 40\%+40\%*(1-40\%)=64\% акций компании, то есть более половины.

(d) Через год суммарная стоимость акций Вилли Вонки составит

V_1(s)=(1-s)((1+R)V_0+(1+r)sV_0))

Заметим, что в случае отказа от реализации нового проекта (и отмены сделки с Чарли), то есть при s=0, имеем

V_1(0)=(1+R)V_0

Вилли Вонка решает следующую оптимизационную задачу:

V_1(s) = (1 - s)((1 + R)V_0 + (1 + r)sV_0) = V_0 \left[ (1 + R) + (r - R)s - (1 + r)s^2 \right] \rightarrow \max \limits_{0 \leq s \leq 1}

Решаем эту задачу и находим долю акций s^*, которую Вилли Вонка продаст Чарли:

V_1'(s) = V_0 \left( (r - R) - 2(1 + r)s \right) \implies V_0 \left( (r - R) - 2(1 + r)s^* \right) = 0 \implies s^* = \frac{r - R}{2(1 + r)}

Вилли Вонка не изменит своё решение реализовывать новый проект (и привлекать инвестиции Чарли), если оптимальная доля s^* будет положительной:

\left\{ \begin{aligned} s^* &= \frac{r - R}{2(1 + r)} > 0 \\ r &> 0 \end{aligned} \right. \implies \boxed{r > R}

Ответ. Новый проект будет реализован, если его рентабельность r (строго) больше доходности основного бизнеса R.